Question

概率问题 概率祖宗进!(取球问题 就6个球 不多)

已知有2个相同白球 2个相同黑球 2个相同红球
(1)有放回的取4次 求取到2个黑球和2个白球的概率?
(2)有放回的取4次 已知有2次取到了白球 求取到2个黑球和2个白球的概率?
(3)无放回的取4次 求取到2个黑球和2个白球的概率?
(4)无放回的取4次 已知有2次取到了白球 求取到2个黑球和2个白球的概率?

好的+悬赏300
每次一个球。 晕 别玩抄袭

Answer 1

晕~上面居然没一个人回答全对。fengleicc的回答还靠谱些，但是他第二题的回答有问题，问题在于P(X=2)=C(4,2)*(1/3)^2*(2/3)^4这个式子上。首先，(2/3)^4应该是(2/3)^2, 其次，这样算的是“恰有2次取白球的概率”，而题目中的“有2次取到了白球”一般应该理解为“至少有2次取白球”。请LZ注意甄别~~下面是我的解答。

对于有放回的情形，可以看作每次取白黑红球的概率均为1/3，同色球不加以区分。

1. 考虑顺序，总取法数3^4. 取出2黑2白，相当于4次取球中选2次取黑球，剩下2次自然取白球。所以取出2黑2白的取法数=C(4,2). P(2黑2白)=C(4,2)/3^4=2/27.

2. 事件A=取2黑2白，事件B=有2次取白(应理解为至少有两次取白)。P(AB)=P(A)=2/27.
而P(B)=1-P(4次全取黑或红)-P(4次里恰有1次取白)=1-(2/3)^4-C(4,1)*(1/3)*(2/3)^3=11/27.
所以P(A|B)=P(AB)/P(B)=2/11.

对于无放回的情形，可以想象成一次取出4个而不是逐个取。这样就不必考虑取球的先后顺序了，只要考虑取球的结果即可。不过这时最好把球编号1~6，同种颜色的球也认为是不同的。

3. 如上所述，不计取球次序，区分同色球。这样总取法数C(6,4)=15, 而2黑2白只是一种情形，所以此时P(2黑2白)=1/15.

4. 事件A=取2黑2白，事件B=取出球中含2白。 P(AB)=P(A)=1/15.
而要取出2白球，这两个位置就固定了。剩余的2个球可随意在2黑2红中取，共C(4,2)=6种取法。故P(B)=C(4,2)/C(6,4)=2/5.
所求P(A|B)=P(AB)/P(B)=1/6.

综上，4问的答案分别是：2/27, 2/11, 1/15, 1/6.

Answer 2

对于“有放回的取球”情形，每次取得的是白球、黑球或红球的概率均为1/3。令X、Y、Z分别表示有放回的取4次球所得到的白球的个数、黑球的个数、红球的个数，则(X,Y,Z)服从参数为(4;1/3,1/3,1/3)的三项分布，即(X,Y,Z)~ Multinomial(4;1/3,1/3,1/3)。
（1）记A=“有放回的取4次，取到2个黑球和2个白球”，则 A={X=2,Y=2}；由于X+Y+Z=4，因此 A={X=2,Y=2,Z=0}。所以事件A的概率为：
P(A)=P(X=2,Y=2)=P(X=2,Y=2,Z=0)
=(4!/(2!*2!*0!))(1/3)^2*(1/3)^2*(1/3)^0=2/27
故，“有放回的取4次，取到2个黑球和2个白球”的概率为2/27。

（2）所求的是：在已知“有2次取到了白球”的条件下，事件“取到2个黑球和2个白球”的条件概率P(X=2,Y=2|X=2)。由(X,Y,Z)~ Multinomial(4;1/3,1/3,1/3)可得X服从二项分布，即
X~B(4,1/3)
因此
P(X=2,Y=2|X=2)=P(X=2,Y=2)/P(X=2)=(2/27)/(C(4,2)*(1/3)^2*(2/3)^4)=1/4
上述概率即为所求。

下面考虑无放回情形。将6个球分别标号1,2,3,4,5,6，其中1,2号是白球，3,4号是黑球，5,6号是红球。“无放回的取4次”相当于从标号为1,2,3,4,5,6的6个球中取出4个进行排列，共有6*5*4*3种排法。
（3）记A=“无放回的取4次，取到2个黑球和2个白球”，事件A发生即是将标号为1,2,3,4的四个球取出进行全排列，有4 !种排法，所以，所求事件的概率为
P(A)=4 !/( 6*5*4*3)=1/15
（4）记B=“无放回的取4次 取到2个白球”，即从标号3,4,5,6的四个球中取出2个与标号为1,2的两个白球放在一起进行排列，有C(4,2)*4 !，因此
P(B)= C(4,2)*4 !/ ( 6*5*4*3)
所以，所求的条件概率为
P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)/P(B)=1/C(4,2)=1/6.
上述用到结论P(AB)=P(A)，是因为A发生必然导致B发生，即事件B包含事件A，因此有AB=A。

注：C(n,m)表示从n个不同的物件中取m个的组合数。

Answer 3

(1) (1/3)^4*C46=5/27 C46代表6个球中取4个球的情况数
(2) (1/3)^2*C24=2/3
(3) 1/C46=1/15
(4) 1/C2/4=1/6
有不明白的地方可以追问，我擅长数学尤其擅长概率

Answer 4

黑B白W红R
1 一次取一种颜色概率1/3，（1/3）^4，这四次分别有6种顺序可取，即（1/3）^4 *6
2 取两次B，6种顺序 （1/3）^2 *6
3 1/6*1/5*1/4*1/3有顺序取四个，6种顺序再*6
4 取两次B 1/4*1/3 ，6种顺序再*6

顺序
WWBB
WBWB
WBBW
BBWW
BWBW
BWWB

Answer 5

(1)1/81
(2)1/162
(3)1/45
(4)1/90
前两题，放回球，每次拿都有六种可能 ，所以共有1/2（6*6*6*6）种可能 。后两题，不放回拿，共有1/2(6*5*4*3)种可能（这个数量不会错）

Answer 6

(1)1/1296
(2)1/36
(3)1/(6*5*4*3)
(4)1/12