Question

二次型如何化为标准型

Answer 1

正交变换法化二次型为标准型技巧如下：

1、将二次型表达为矩阵形式f=x^TAx，求出矩阵A。

2、求出A的所有特征值λ₁，λ₂，...，λn。

3、求出对应于特征值的特征向量a₁，a₂，...，an。

4、将特征向量正交化、单位化，得b₁，b₂，...，bn，记C=(b₁，b₂，...，bn)。

5、作正交变换x=Cy，则得f的标准型f=k₁y₁+k₂y₂+...+knyn。

二次型标准化的本质和意义：

1.本质：

二次型标准化的本质是合同对角化，并非相似对角化。

之所以可用正交矩阵相似对角化：一是因为正交矩阵的转置与逆相等，相似与合同是一回事。二是因为对称矩阵的特征向量在标准正交基矢下正交，并且没有亏损现象。注意这里说的正交是在标准正交基即正交归一坐标系里下正交，并非在上述二次型所对应的几何空间正交。

一定要清清楚楚、明明白白，不可混淆。

2.意义：

标准化可以明显地看出二次函数的对称轴，以及是否与x轴有交点，同时知道x求y也比较好算。