Question

线性代数：已知向量组a1a2a3的秩为3

已知向量组a1a2a3的秩为3,向量组a1a2a3a4的秩为3,向量组a1a2a3a5的秩为4,求向量组a1，a2，a3，a4-a5，a2-a3的秩？

Answer 1

解: 因为 r(a1,a2,a3)=3, 所以 a1,a2,a3线性无关
又因为 r(a1,a2,a3,a4)=3, 所以 a1,a2,a3,a4 相关
所以 a4 可由 a1,a2,a3 线性表示.

因为 r(a1,a2,a3,a5)=4, 所以 a1,a2,a3,a5 线性无关
故 a5 不能由 a1,a2,a3 线性表示

所以 a5-a4 不能由a1,a2,a3线性表示
所以 a1,a2,a3, a5-a4 线性无关.

而由于 a2-a3 可由 a1,a2,a3 线性表示
所以 a1,a2,a3, a5-a4 是 a1，a2，a3，a4-a5，a2-a3 的极大无关组

所以 r(a1，a2，a3，a4-a5，a2-a3) = 4.

Answer 2

秩为4
向量组a1a2a3的秩为3，说明a1a2a3线性无关
向量组a1a2a3a4的秩为3，说明a4可由a1a2a3线性表出
,向量组a1a2a3a5的秩为4，说明a1a2a3a5线性无关
在向量组a1，a2，a3，a4-a5，a2-a3中，首先可以判断a1，a2，a3线性无关，最后的a2-a3可由a1,a2,a3线性表出，a4-a5不能由a1,a2,a3线性表出（这是因为如果a4-a5能由a1,a2,a3线性表出，又a4可由a1a2a3线性表出，这样会推出a5可由a1a2a3线性表出）