Question

如图在平面直角坐标系中,已知直角梯形OABC的定点分别是O(0,0)点A(9,0),B(6,4),C(0，4）

如图在平面直角坐标系中,已知直角梯形OABC的定点分别是O(0,0)点A(9,0),B(6,4),C(0，4）。点P从点C沿C-B-A运动，速度为每秒2个单位，点Q从A向0点运动，速度为每秒1个单位，当其中一个点达到终点时，另一个点也停止运动，两点同时出发，设运动时间是t秒。
（1）点P和点Q谁先到终点？达到终点时t的值是多少？（写出解答过程）
（2）当t取何值时，直线PQ∥AB？并写出此时点P的坐标。（写出解答过程）
（3）是否存在符合题意的t的值，使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分？如果存在，求出t值；若不存在，请说明理由。（写出解答过程）
（4）探究：当t取何值时，直线PQ⊥AB？（只要直接写出答案，不需要写出计算过程）

Answer 1

解：
（1）过B点作x轴的垂线，与x轴交于H点，可得H（6，0）
在Rt△AHB中，BH=4，AH=3，得AB=5（勾股定理）
（CB+BA）÷2=（6*5）÷2=5.5秒 AO÷1=9秒
故P点先到终点。时间5.5秒
（2）当PQ∥AB时，过P点作x轴的垂线，与x轴交于M点
CP=2t，AQ=t，当PQ∥AB时，易证Rt△AHB≌Rt△QMP,
得MQ=AO-AQ-MO=9-t-2t=AH=3 得t=2秒 P（4，4）
（3）分两种情况：1.P点在CB上，2.P点在BA上
1.P点在CB上
直角梯形OABC面积为 1/2×（BC+OA）×CO=1/2×(6+9)×4=30
得直角梯形OQPC面积为15 =1/2×（PC+OQ）×CO=1/2×(2t+9-t)×4
得t=-1.5秒（舍去）
2.P点在BA上
△APM∽△ABH
AP/AB=PM/BH 即（11-2t）/5=PM/4 PM=5/4（15-2t）
SAPQ=1/2×QA×PM=1/2×t ×5/4（11-2t）=1/2×30
此一元二次方程无实根
故由上可知，不否存在符合题意的t的值，使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分
（4）t=55/13
（以上表示均应该为绝对值，不好打，就没打）
（3）两种情况你仔细看下，计算你再算算，关键是思路，希望对你有帮助。

Answer 2

解：（1）AB=5，BC+BA=11，OA=9，11 /2 =5.5，
∴点P先到达终点；

（2）假设PQ∥AB，又CB∥OA，
∴四边形AQPB为平行四边形，
∴PB=AQ，即t=6-2t，
解得t=2，
则当t=2时PQ∥AB，此时点P的坐标（4，4）；

（3）不存在．
当使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分，
当点P在线段BC上时：
即1 2 /（PC+OQ）×CO=15，
1 2 /（9-t+2t）×4=15，
得t=-1.5不合题意，
当点P在线段AB上时：
4 5 /（11-2t）•t=15，
即8t2-44t+75=0，方程没有实数根．
所以不存在符合题意的t的值，使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分；
（4）当t=55 /13 时直线PQ⊥AB．

Answer 3

（1）过B作高，不难求得AB=5，，所以BC+AB=11，P点到达A用时5.5秒，Q点到达O用时9秒。
所以点P先到达终点，t=5.5秒。
（2）当PQ∥AB时，因为BC∥AO，所以四边形ABPQ是平行四边形，所以，PB=AQ，
即 6-2t=t，t=3。
所以， t=3秒时，PQ∥AB。
（3）不存在。梯形OABC的面积为30，只有直角梯形OQPC的面积为15时PQ才能平分。
即 4（2t+9-t）/2=15，t为负值，不合题意。
（4）t=55/13秒时，PQ⊥AB。

Answer 4

解：（1）AB=5，BC+BA=11，OA=9，11 /2 =5.5，
∴点P先到达终点；t=5.5s
（2）假设PQ∥AB，又CB∥OA，
∴四边形AQPB为平行四边形，
∴PB=AQ，即t=6-2t，
解得t=2，
则当t=2时PQ∥AB，此时点P的坐标（4，4）；

（3）1 p在BC上不存在．
当使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分，
即1 2 （PC+OQ）×CO=15，
1 2 （9-t+2t）×4=15，
得t=-1.5不合题意，2 P在AB上，过P点作x轴的垂线，与x轴交于M点，△APM∽△ABH
AP/AB=PM/BH 即（11-2t）/5=PM/4 PM=5/4（15-2t）
SAPQ=1/2×QA×PM=1/2×t ×5/4（11-2t）=1/2×30
此一元二次方程无实根

所以不存在符合题意的t的值，使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分；

（4）当t=55 /13 时直线PQ⊥AB．

Answer 5

解：（1）AB=5，BC+BA=11，OA=9，11 /2 =5.5，
∴点P先到达终点；

（2）假设PQ∥AB，又CB∥OA，
∴四边形AQPB为平行四边形，
∴PB=AQ，即t=6-2t，
解得t=2，
则当t=2时PQ∥AB，CP=2×2=4，
此时点P的坐标（4，4）；

（3）不存在．
当使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分，
当点P在线段BC上时：
即1 /2 （PC+OQ）×CO=15，
1 /2 （9-t+2t）×4=15，
得t=-1.5不合题意，
当点P在线段AB上时：
1 /2×4 /5 （11-2t）•t=15，
即4t²-22t+75=0，方程没有实数根．
所以不存在符合题意的t的值，使直角梯形OABC被直线PQ分成面积相等的两个部分；
（4）当t=55 13 时直线PQ⊥AB．