Question

已知：正方形ABCD中，E为AB的中点，F是AD上的一点，且AF=1/4AD,EG⊥CF于点G. 试说明：EG的平方=CG*FG

Answer 1

首先说说思路，把图按照题目要求画出来，题目要我们证明的是EG的平方=CG*FG 

实际上根据射影定理，也就是证明角FEC是直角，射影定理是指 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高 则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC, (2)(AB)^2;=BD·BC , (3)(AC)^2;=CD·BC 。推导过程实质是利用了三角形相似。    现在问题转化为证明∠FEC是直角 

我发现了两种方法：

△AEF相似于△BCE 则∠aef与∠bec互余，则∠FEC=90°，即证。

第二种是勾股定理法，你可以设正方形边长为4，分别将FE EC CF长度计算出来 正好满足勾股定理 即证出角FEC为直角 即证。

Answer 2

证明：
∵E为AB的中点，AF=1/4AD
∴AF/BE=AE/BC=1/2
∵∠A=∠B
∴△AEF∽△BCE
∴∠AEF=∠BCE
∴∠AEF+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°
∴∠CEF=90°
∵EG⊥CF
∴△EFG∽△CEG
∴EG²=CG*CFG

Answer 3

1.直接设边长为a，解出EF,CF,CE，可以，根据勾股定理知道EFC是直角三角形，再算出EG，再算出CG和FG代入等式验证。
2.先证AEF和BCE相似，再证明角AEF和角BEC加起来90度，直接得出FEC是直角三角形，然后证明FEG和BGC都跟FEC相似，得出FEG与BGC相似，根据FG/EG=EG/CG，变形得到所要等式。

Answer 4

证明：
∵E为AB的中点，AF=1/4AD
∴AF/BE=AE/BC=1/2
∵∠A=∠B
∴△AEF∽△BCE
∴∠AEF=∠BCE
∴∠AEF+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°
∴∠CEF=90°
∵EG⊥CF
∴△EFG∽△CEG
∴EG=CG*CFG
完全利用三角形的相似