Question

已知abc∈R+，求证：√（a^2+ab+b^2)+√（a^2+ac+c^2)≥a+b+c

abc∈R+ ！！

Answer 1

√(a²+ab+b²)≥√[(1/4)a²+ab+b²]=√[(1/2)a+b]²=(1/2)a+b
同理√(a²+ac+c²)≥(1/2)a+c
所以√(a²+ab+b²)+√(a²+ac+c²)≥(1/2)a+b+(1/2)a+c=a+b+c

追问

等号取得到？

追答

首先，如果只要证明不等式，不必讨论等号取不取得到的问题，就像2≥1一样，等号不能取到，但却是正确的。
其次，就该题而言，等号成立的条件是√(a²+ab+b²)=√[(1/4)a²+ab+b²]且√(a²+ac+c²)=√[(1/4)a²+ac+c²]即a=0，而题设a为正数，因此等号不可能取到。

Answer 2

√（a^2+ab+b^2) ≥ √（a^2/4+ab+b^2) = a/2+b
√（a^2+ab+b^2) ≥ √（a^2/4+ab+b^2) = a/2+c
以上两式相加：√（a^2+ab+b^2)+√（a^2+ac+c^2)≥a+b+c