Question

求一个能算这样题的简便方法？

Answer 1

分类: 教育/科学 >> 学习帮助
问题描述:

第一个是：如果第一天是1分钱的工资，第二天就2分、三天就4分，（就是说后一天是前一天的两倍）按30天算。第二个是：如果第一天是1分钱的工资，第二天就3分、三天就10分，（就是说后一天是前一天的两倍再加上前几天的）按30天算。

解析:

设两种情况下第n天的工资分别为a[n]和b[n]方括号表示下标，构造两个数列，前n项和分别为R[n]和S[n]（a因为的和很好计算，两句话搞定，b的和需要慢慢推导，所以用固定符号简化输入）

1：a是等比数列，直接用和公式得到R[n]=2^n-1

代入计算：R[30]=2^30-1=***********分

2：由题目可以得到：b[n]=2b[n-1]+S[n-1]

另外既然S[n]是数列前n项和，所以S[n-1]是数列前n-1项和，有b[n]=S[n]-S[n-1]（这个式子对任何数列都有效）

所以b[n]=2b[n-1]+S[n-1]=S[n]-S[n-1]，可以推出：

S[n]=S[n-1]+b[n]=2b[n-1]+2S[n-1]=2(S[n-1]-S[n-2])+2S[n-1]=4S[n-1]-2S[n-2]

然后用迭代法：

S[n]=4S[n-1]-2S[n-2]

=4(4S[n-2]-2S[n-3])-2S[n-2]

=14S[n-2]-8S[n-3]

=14(4S[n-3]-2S[n-4])-8S[n-3]

=48S[n-3]-28S[n-4]

每两步计算让表达式两项各前进一步，也就是说我们可以最终可以得到形如S[n]=x[n]S[2]-y[n]S[1]的表达式，并且S[1]=b[1]=1分，S[2]=b[1]+b[2]=4分

为了计算x[n]和y[n]，我们来观察上面式子第一步

从n=3开始

x[3]=4，x[m]=4x[m-1]-2

y[3]=2，y[m]=2x[m-1]

∴x[n]=4x[n-1]-2=4(4x[n-2]-2)-2=……=4^(n-3)x[3]-2(1+4+4^2+……+4^(n-4))=4^(n-2)-2(1-4^(n-3))/(1-4)=4^(n-2)-2*4^(n-3)/3+2/3

代入计算：S[30]=x[30]S[2]-y[30]S[1]=(4^29-2*4^28/3+8/3)-(2*4^27-4*4^26/3+4/3)=210167982610623148分