Question

如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2。

（1） 求证：DC=BC；
（2） E是梯形内的一点，F是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值。

Answer 1

解：
（1）过A作CD垂线，交CD于G，易证AB=CG=1，AG=BC=2
tan∠ADC=2=AG/DG，又∵AG=2，∴DG=1，
又∵CG=1，∴CD=2，即DC=BC；
（2）△ECF是直角等腰三角形，理由：
在△DEC、△BFC中，DC=EC（已证），∠EDC=∠FBC，DE=BF，
即△DEC全等于△BFC（SAS），所以∠DCE=∠BCF，又∵∠BCD=90°，
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠DCE+∠ECB=∠BCD=90°，
因为全等，又得CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形；
（3）∵△CEF是等腰直角三角形
∴∠CEF=45°，又∠BEC=135°，∴∠BEF=90°，
等腰直角三角形△CEF中，EF=根号2倍EC
又∵BE：EC=1:2，∴BE：EF=1：2倍根号2
根据勾股定理，BE：BF=1:3，又Sin∠BFE=BE/BF，
∴Sin∠BFE=1/3。