如图,正方形ABCD的对角线BD上去BE=BC，连接CE,，P为CE上任一点，PQ⊥BC,PR⊥BE，求证：PQ+PR=½BD
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证明：从P作PH⊥CO，垂足为H
∵ABCD是正方形
∴DO⊥CO，即∠ROH=90°
又PH⊥CO，PR⊥OR，即∠PHO=∠ROH=∠ORP=90°
∴ORPH是矩形
∴PR=OH
∵DO⊥CO，PH⊥CO
∴DO∥PH
∴∠HPC=∠BEC
又BE=BC
∴∠BEC=∠BCE
∴∠HPC=∠BCE=∠QCP
再加上∠PHC=∠CQP=90°，CP=PC
∴△PHC≌△CQP
∴PQ=CH
于是PQ+PR=OH+CH=OC=½BD
∵ABCD是正方形
∴DO⊥CO，即∠ROH=90°
又PH⊥CO，PR⊥OR，即∠PHO=∠ROH=∠ORP=90°
∴ORPH是矩形
∴PR=OH
∵DO⊥CO，PH⊥CO
∴DO∥PH
∴∠HPC=∠BEC
又BE=BC
∴∠BEC=∠BCE
∴∠HPC=∠BCE=∠QCP
再加上∠PHC=∠CQP=90°，CP=PC
∴△PHC≌△CQP
∴PQ=CH
于是PQ+PR=OH+CH=OC=½BD
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