Question

如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐标分别为B(8，6)、C(10，0)，动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动

如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐标分别为B(8，6)、C(10，0)，动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位／秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位／秒，交OB于点N，连接DM，过点M作MH⊥AB于H，设运动时间为t(s)(0＜t＜8)．
(1)试说明: △BDN∽△OCB ；
(2)试用t的代数式表示MH的长；
(3) 当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形与△OAB相似?
(4) 设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CO，
∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO，
∵DE∥BC，
∴∠DEO=∠OCB，
∴∠BDN=∠OCB，
∴△BDN∽△OCB；

（2）∵直角梯形中OABC中，∠BAO=90°MH⊥AB，
∴∠BHM=∠BAO=90°，OB= OA2+AB2=10，
∴MH∥AO，
∴△BHM∽△BAO，
∴ MHAO=BMBO，
∴ MH6=10-t10，
∴MH=6- 35t；

（3）①若△BDM∽△BAO，
∴ BDBA=BMBO，
∴ t8=10-t10，
∴t= 409，
②若△BDM∽△BOA，
∴ BDBO=BMBA，
∴ t10=10-t8，
∴t= 509；
综上所述，当 t=409或 t=509时，△BDM与△BOA相似；

（4）过点B作BG⊥OC于G，
∴BG=AO=6，
∴ S△B0C=12×10×6=30，
∵△BDN∽△OCB，
∴ S△BDNS△BOC=(BDOC)2，
∴ S△BDN30=(t10)2，
∴ S△BDN=310t2，
①当点M在ON上即0＜t＜5时，
y=S△DMN=S△BDM-S△BDN，
= 12×t×(6-35t)-310t2，
= 3t-35t2，
②当点M在BN上即5≤t＜8时，
y=S△DMN=S△BDN-S△BDM，
= 35t2-3t．

Answer 2

分析：（1）根据平行线证明∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO=∠OCB，根据两组角对应相等两三角形相似即可证明△BDN∽△OCB；
（2）利用勾股定理求出OB的长为10，再表示出BM长为10-t，然后利用相似三角形对应边成比例得 MHAO=BMBO，代入求解即可；
（3）因为两三角形的对应边不明确，所以分BD与BA是对应边和BD与BO是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（4）先求出△OBC的面积为30，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△BDN的面积，然后分点M在ON上时S△DMN=S△BDM-S△BDN和点M在BN上时S△DMN=S△BDN-S△BDM两种情况求出△DMN的面积．
解答：解：（1）∵AB∥CO，
∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO，
∵DE∥BC，
∴∠DEO=∠OCB，
∴∠BDN=∠OCB，
∴△BDN∽△OCB；

（2）∵直角梯形中OABC中，∠BAO=90°MH⊥AB，
∴∠BHM=∠BAO=90°，OB=10，
∴MH∥AO，
∴△BHM∽△BAO，
∴ MH/AO=BM/BO，
∴ MH/6=10-t/10，
∴MH=6- 3/5t；

（3）①若△BDM∽△BAO，
∴ BD/BA=BM/BO，
∴ t/8=10-t/10，
∴t= 40/9，
②若△BDM∽△BOA，
∴ BDBO=BMBA，
∴ t/10=10-t/8
∴t= 50/9；
综上所述，当 t=40/9或 t=50/9时，△BDM与△BOA相似；

（4）过点B作BG⊥OC于G，
∴BG=AO=6，
∴ S△B0C=12×10×6=30，
∵△BDN∽△OCB，
∴ S△BDNS△BOC=(BD/OC)的2次方，
∴ S△BDN30=(t/10)的2次方，
∴ S△BDN=3/10t的2次方，
①当点M在ON上即0＜t＜5时，
y=S△DMN=S△BDM-S△BDN，
= 12×t×(6-3/5t)-3/10t2，
= 3t-35t的平方，
②当点M在BN上即5＜t＜8时，
y=S△DMN=S△BDN-S△BDM，
= 35t的平方-3t．
点评：本题综合性较强，主要考查相似三角形的判定和相似三角形的性质，要注意分情况讨论．

Answer 3

解：（1）∵AB∥CO，
∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO，
∵DE∥BC，
∴∠DEO=∠OCB，
∴∠BDN=∠OCB，
∴△BDN∽△OCB；

2）∵直角梯形中OABC中，∠BAO=90°MH⊥AB，
∴∠BHM=∠BAO=90°，OB= 根号CA^2+AB^2=10，
∴MH∥AO，
∴△BHM∽△BAO，
∴ MH/AO=MB/BO
∴ MH/6=10-T/10
∴MH=6- t；

Answer 4

解：（1）∵AB∥CO，
∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO，
∵线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，
∴DE∥BC，
∴∠DEO=∠OCB，
∴∠BDN=∠OCB，
∴△BDN∽△OCB；
（2）∵直角梯形中OABC中，∠BAO=90°MH⊥AB，
∴∠BHM=∠BAO=90°，OB= OA2+AB2 =10，
∴MH∥AO，
∴△BHM∽△BAO，
∴MH/ AO =BM/ BO ，
∴MH/ 6 =10-t /10 ，
∴MH=6-3 /5/ t；

（3）①若△BDM∽△BAO，
∴BD /BA =BM /BO ，
∴t/ 8 =10-t/ 10 ，
∴t=40/ 9 ，
②若△BDM∽△BOA，
∴BD /BO =BM /BA ，
∴t /10 =10-t /8 ，
∴t=50/ 9 ；
综上所述，当t=40/ 9 或t=50 /9 时，△BDM与△BOA相似；

（4）过点B作BG⊥OC于G，

∴BG=AO=6，
∴S△B0C=1 2 ×10×6=30，
∵△BDN∽△OCB，
∴S△BDN /S△BOC =(BD/ OC )2，
∴S△BDN /30 =(t 10 )2，
∴S△BDN=3 10 t2，
①当点M在ON上即0＜t＜5时，
y=S△DMN=S△BDM-S△BDN，
=1 2 ×t×(6-3 5 t)-3 10 t2，
=3t-3 5 t2，
②当点M在BN上即5＜t＜8时，
y=S△DMN=S△BDN-S△BDM，
=3 10 t2-1 2 ×t×（6-3 5 t），
=3 5 t2-3t．

Answer 5

1）若△BAO∽△BDM，则BA BD =BO BM ，（1分）
即8 t =10 10-t ，解得t=40 9 ；（2分）
若△BAO∽△BMD，BA BM =BO BD ，（3分）
即8 10-t =10 t ，解得t=50 9 ；（4分）
所以当t=40 9 或t=50 9 时，以B，D，M为顶点的三角形与△OAB相似．

（2）过点M作MF⊥AB于F，则△BFM∽△BAO；
从而MF 6 =10-t 10 ，所以MF=6-3 5 t，（5分）
S△BDM=1 2 BD•MF=1 2 t（6-3 5 t），（6分）
△BDN∽△OBC，S△OBC=1 2 ×10×6=30，
S△BDN S△OBC =（t 10 ）2，所以S△BDN=3 10 t2（7分）
①当0＜t≤5时，y=S△DMN=S△BDM-S△BDN=1 2 t（6-3 5 t）-3 10 t2=-3 5 t2+3t；
②当5＜t＜8时，y=S△DMN=S△BDN-S△BDM=3 10 t2-1 2 t（6-3 5 t）=3 5 t2-3t．（8分）

（3）在△BDM与△OME中，
BD=OM=t，∠MBD=∠EOM，BM=EO=10-t，
所以△BDM≌△OME；（9分）
从而五边形MECBD的面积等于三角形OBC的面积，因此它是一个定值，
SMECBD=30．（10分）

Answer 6

若△BAO∽△BDM，则BA| BD =BO\BM ，
即8 t =10 \10-t ，解得t=40 \9 ；
若△BAO∽△BMD，BA |BM =BO\BD ，
即8 \10-t =10 t ，解得t=50 \9 ；
所以当t=40 \9 或t=50 |9 时，以B，D，M为顶点的三角形与△OAB相似．