Question

在三棱锥A-BCD中，AB垂直于平面BCD，BD垂直于CD

（1）求证：平面ABD垂直于平面ACD
（2）若AB=BC=2BD，求二面角B-AC-D的正切值

Answer 1

1、由AB垂直于平面BCD，得BD垂直于AB，
BD垂直于CD，故CD垂直于面ABD，CD在平面ACD上，故平面ABD垂直于平面ACD

2、设BD=1，AB=BC=2 则AC=2*根号下2，CD= 根号下3
AD= 根号下5（AB垂直于平面BCD，角ABD为直角）
过B点做AC的垂直线，交于E点，则BE=根号下2（等腰直角三角形ABC）
过E点，做AC的垂直线交AD于点F， 二面角B-AC-D 即为角BEF
则EF=根号下（6/5）（面ACD内相似三角形，推导过程略）
BF=2/根号下5 （平面ABC，推导过程略）

因BE=根号下2，EF=根号下（6/5），BF=2/根号下5 ，根据勾股定理：
EF垂直于BF，

二面角B-AC-D的正切值，也即角BEF的正切值：2/根号下6