Question

急求!高中数学 以知m,n为实数,且m+2n=2,则m*2^m+n*2^(2n+1)的最小值是多少? (最好有详解~~~)

Answer 1

m=2n=1时    最小值是 4 

楼上在用均值不等式

注闭岁锋意均值不等式使用的前提的是    同为正才能使用

而且一大一雀神小的      为什么说是4呢？ 

应该这样看

m*2^m+n*2^(2n+1)=m*2^m+(2-m)2^(2-m)

观察y=m*2^m+(2-m)2^(2-m)

可见 轿晌 函数y   关于直线  m=1  是对称的

x＞1时    易得函数 y 单调递增

则：x=1 时   函数y有最小值

追问

那个,楼主的观察力鸭梨很大,这个是求导后看的么?

追答

不是 就是原来函数的图像走势
观察y=m*2^m+(2-m)2^(2-m)
可见 函数y 关于直线 m=1 是对称的

凡是关于直线x=a对称
就是：把原来的 x 都变成 2a-x 所得函数与原函数一样
这里应该是关于 m=1 对称，
不信的话，你把函数左移一个单位，得到的新函数觉得是个偶函数，你可以试一下
左移的时候注意左加右减的法则得到：
f=(m+1)*2^(m+1)+(1-m)2^(1-m),你看，这就是一个偶函数对不？
所以原函数并不是什么单调递增且下凹的函数，

m＞1时 m越大，m*2^m
m越大，(2-m)越小，2^(2-m)越小，乘积就越大，
所以，易得m越大，y越大，即函数 y 单调递增
则：m=1 时 函数y应有最小值
带入 m=1 n=1/2，得最小值为 4

我是高中数学老师
有什么不懂得，欢迎Q我
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Answer 2

对一楼的补充一下，2n=2-m
m*2^m+n*2^(2n+1)=m*2^m+(2-m)2^(2-m)=m*2^m+4(2-m)/2^m >=2根号下（4m（2-m））
<=4
当耐隐差m=1时等式成立
所以最小值为4
一楼是对的，昌皮只是负数的时候可以用-m代替m~然后再重复携乱上步骤

Answer 3

这道题颂指的解答应该是这样的。
解：∵1/2n + 1/m=1/2×(1/2n + 1/m)×2=1/2×(1/亏樱银2n + 1/m)×（m+2n）
=1/2×（m/2n + 2n/m +2）
≥1/销宴2×4=2
∴[m×2^m+n×2^(2n+1)]×（1/2n + 1/m)=(m×2^m)/2n+(2n×2^2n)/m+2^m+2^n
≥4+4=8
又∵1/2n + 1/m≥2
∴m×2^m+n×2^(2n+1)≥4
故原式的最小值为4。.
如果楼主还有不清楚的地方，可以直接给我留言。

Answer 4

n=(2-m)/2
f(m) = m*2^m+n*2^(2n+1) = m·2^m + (2-m)·2^(2-m)
令g(m) = m·2^m, h(m) = (2-m)·2^(2-m)
当m≤0时，h(m)为增函数，且h(m)≥h(0) = 8
g(m) = -|m|/2^|m| 由于从y=x与y=2^x的图像易知，|m|≤2^|m|，所以|m|/2^|m| ≤1, g(m) = -|m|/2^|m| ≥ -1
f(m) = g(m) + h(m) ≥ -1 + 8 = 7
当m≥2时，由g(m)与h(m)关于x=1对称，同上可得f(m) ≥ 7
当 0<m<2时，g(0)=h(2)=0, g(2) = h(0) = 8
g'(m) = (mln2+1)2^m > 0 h'(m) = -[(2-m)ln2 + 1]2^(2-m) < 0
且g'(m), h'(m)均为单调递增
当0<m<1时，野野局g'(m) < g'(1) = 2(ln2+1), h'(m) < h(1) = -2(2ln2+1)
f‘(m) = g'(m) + h'(m) < 0单调递减
当1≤m<2时，同理，可得f‘(m) = g'(m) + h'(m) ≥ g'(1) + h'(1) = 0单调递增（当m=1时等号成立）
所以当m=1时，f(m)取颂让最脊谈小值，
即当m=1, n=1/2时，m*2^m+n*2^(2n+1)取最小值4

Answer 5

（内、外层函数的单调性 求得）最培孙小值是4：由题意可知 2n+1=3-m n=1-m/2 原式=(m-1)*(2的m次方)+8/(2的m次方桐中宏) 当m=1时 值=4;当m不等于1时 值局册>4所以 最小值是4