Question

高三数学抛物线问题

请证明抛物线的一个几何性质：过抛物线y2=4x  (y的平方）的焦点F任作直线l与抛物线交于A,B两点，则在x轴上存在定点M（-1,0），使直线MF始终是角AMB的平分线  向量法坐标法我会用，我要的是几何证明法，最好能配上图，做了图发邮箱也行cookiedale@163.com 急！！！！！重谢！！ 

Answer 1

设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)
1°
若直线AB斜率不存在，那么AB⊥MF
由对称性，显然MF平分∠AMB
2°
若直线AB斜率为k (k≠0)
由于F (1,0)在AB上，所以AB的方程为
y=k(x-1)
联立直线、抛物线方程，消去y，得到
k^2 x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
所以
x_1+x_2=2+4/k^2
x_1•x_2=1
易知直线AM、BM的方程为
AM:(x_1+1)y-y_1 x-y_1=0
BM:(x_2+1)y-y_2 x-y_2=0
O到AM、BM的距离
d_1=(|-y_1 |)/√((x_1+1)^2+〖y_1〗^2 )
d_2=(|-y_2 |)/√((x_2+1)^2+〖y_2〗^2 )
欲证明MF平分∠AMB，只需证明MO是∠AMB的平分线
只需证明d_1=d_2
将〖y_1〗^2=4x_1,〖y_2〗^2=4x_2代入，并整理，
即证
(1-1/(x_1 x_2 ))(x_1-x_2 )=0
由于x_1• x_2=1，所以上式成立
原命题得证。