Question

已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>=0时，f(x)=x+x^2

1.求x＜0时，f(x)的解析式
2.问是否存在这样的正数a,b,当x∈[a,b]时，g(x)=f(x),且g(x)的值域为[b分之一，a分之一]?若存在，求出所有的a,b值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1.x>0,时 f(-x)=-f(x)=-x-x^2=(-x)-(-x)^2
即x<0. f(x)=x-x^2
2.x>0, f=x+x^2, f'=1+2x>0, 为增函数，假设存在a.b
[a,b], fmin=f(a)=a+a^2=1/b, fmax=f(b)=b+b^2=1/a
a+1=1/(ab)
b+1=1/(ab)
即a=b，不符。所以不存在。

Answer 2

设 x<0，则-x>0，然后套用已知的那个方程式，得f(-x)=-x+x*x,又因为它是奇函数，根据定义f(x)=-f(-x),得到f(x)=x-x*x