Question

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝-1,与X轴交于A，B两点，与Y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝-1,与X轴交于A，B两点，与Y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，2）（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一直在对称轴上存在一点P，使得三角形PBC的周长最小，请求出点P的坐标，（3）。若点D是线段OC上的一个动点（不与点），点C重合），过点D作DE//PC交于X轴于点E。连接PD，PE，设CD的长为M，三角形PDE的面积为S，求S与M之间的函数关系式，试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值，存不存在，说明理由

Answer 1

解:
（1）由题意得
b/2a=1
9a-3b+c=0
C=-2
解得
a=2/3
b=4/3
c=-2
∴此抛物线的解析式为y=(2/3)x^2+ (4/3)x-2．

（2）连接AC、BC．
因为BC的长度一定，
所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小．
B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P．
设直线AC的表达式为y=kx+b，
则
-3k+b=0
B=-2
解得k=-2/3
B=-2
∴此直线的表达式为y=-(2/3)x-2，
把x=-1代入得y=-4/3
∴P点的坐标为（-1，-4/3）．

（3）S存在最大值，
理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC．
∴ OD/OC=OE/OA，即(2-m)/2=OE/3，
∴OE=3-(3/2) m，OA=3，AE=(3/2)m，
∴S=S△OAC-S△OED-S△AEP-S△PCD
= 1/2×3×2- 1/2×（3- 3/2m）×（2-m）-1/2× 3/2m×4/3- 1/2×m×1
=- 3/4m^2+ 3/2m=- 3/4（m-1）^2+3/4
∵-3/4>0
∴当m=1时，S最大=3/4．