Question

已知抛物线y＝－1/2x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．

图，已知抛物线y＝－1/2x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值

只要第三题 要详细步骤

Answer 1

解：（1）当x=0时，y=4，即B（0，4），
当y=0时，x=4，即A（4，0），
∵抛物线上有不同的两点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）的纵坐标相等，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，
∴对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{（k+3）+（-k-1）}{2}$=1，
把点A，点B代入抛物线解析式中求得a=$-\frac{1}{2}$，b=1，c=4，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4；

（2）当点P（x，x）在直线AB上时，x=-x+4，
解得x=2，
当点Q（$\frac{x}{2}$，$\frac{x}{2}$）在直线AB上时，$\frac{x}{2}$=-$\frac{x}{2}$+4，
解得x=4．
所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则2≤x≤4．

（3）当点E（x，$\frac{x}{2}$）在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）$\frac{x}{2}$=-x+4，
解得x=$\frac{8}{3}$．
①当2≤x＜$\frac{8}{3}$时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，
此时，PC=x-（-x+4）=2x-4，
又PD=PC，
所以S△PCD=$\frac{1}{2}$PC2=2（x-2）2，
从而：S=$\frac{1}{4}$x2-2（x-2）2=-$\frac{7}{4}$x2+8x-8=-$\frac{7}{4}$（x-$\frac{16}{7}$）2+$\frac{8}{7}$．
∵2≤$\frac{16}{7}$＜$\frac{8}{3}$，
∴当x=$\frac{16}{7}$时，Smax=$\frac{8}{7}$．
②当$\frac{8}{3}$≤x≤4时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，
此时，QN=（-$\frac{x}{2}$+4）-$\frac{x}{2}$=-x+4，
又QM=QN，
∴S△QMN=$\frac{1}{2}$QN2=$\frac{1}{2}$（x-4）2，
即S=$\frac{1}{2}$（x-4）2．
其中当x=$\frac{8}{3}$时，Smax=$\frac{8}{9}$．
综合①②得，当x=$\frac{16}{7}$时，Smax=$\frac{8}{7}$．

追问

能告诉我在哪找的 发个网址 OK？

追答

2010年嘉兴市最后一题

Answer 2

为什么不登陆也能回答