Question

有一题，f（-1）=0 f（1）=0 ， 但证明出来函数是奇函数。为什么 ？ f(xy)=y*f(x)+x*f(y)

不是 我的意思是 为什么 f(x)=f(-x) 那不是偶函数吗 或者说 奇函数 为什么可以f(1)=f(-1)=0

Answer 1

函数是奇函数，要求f(0)=0和f(-x)=-f(x)即可，定义域要对称。
f(xy)=y*f(x)+x*f(y)
令y=1，则f(x)=f(x)+xf(1)，则f(1)=0
令x=y=-1，则f(1)=-f(-1)-f(-1)，则f(-1)=0
令y=-1，则f(-x)=-f(x)+xf(-1)，则f(-x)=-f(x)
令x=y=0，则f(0)=0+0，则f(0)=0
综合上述，所以函数f(x)是奇函数.

Answer 2

令x = y = 1
原式变为 f(1) = f(1) + f(1) = 2f(1) => f(1)= 0
令 y = -1 代入
f(-x) = -f(x) + xf(-1)
f(-1) = 0
所以有 f(-x) = -f(x)
所以f(x)为奇函数
证毕

Answer 3

f(xy)=yf(x)+xf(y)
令x=-1，f(y)=yf(-1)-f(y)=-f(y)
即f(y)=-f(y)
这就证明了f是奇函数

Answer 4

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