Question

一个等差数列的前10项之和为100，前一百项之和为10，求其前110项之和

Answer 1

由公式Sn=na1+n(n-1)d/2有
Sp=pa1+p(p-1)d/2=q......(1)
Sq=qa1+q(q-1)d/2=p......(2)
(1)-(2)得(p-q)a1+(p+q-1)(p-q)d/2=q-p
∵p≠q
∴p-q≠0
∴a1+(p+q-1)d/2=-1

∴S(p+q)=(p+q)a1+(p+q)(p+q-1)d/2=(p+q)[a1+(p+q-1)d/2]=-(p+q)

由题意知，S10=100,S100=10
由以上结论知S110=-(100+10)=-110

Answer 2

记住下面这个性质，有利于解题
等差数列{an}的前n项和为Sn,Sp=q,Sq=p,p≠q,则S(p+q)=-(p+q)

证明：由题意，
q=Sp=a1+a2+...+ap=pa1+p(p-1)d/2
p=Sq=a1+a2+...+aq=qa1+q(q-1)d/2
两式相减，得到
q-p=(p-q)[a1+(p+q-1)d/2]
因为p≠q，故
a1+(p+q-1)d/2=-1
因此
S(p+q)=a1+a2+...+a(p+q)=(p+q)(a1+a(p+q))/2
=(p+q)(a1+a1+(p+q-1)d)/2
=(p+q)(a1+(p+q-1)d/2)
=(p+q)*(-1)
=-(p+q)

对于此题，S10=100,S100=10
所以S110=-110