Question

无穷级数一道题，有过程答案 只问原因

设级数∑ak,∑bk都收敛，且ak≤uk≤bk，（k=1,2……）证明：级数∑uk收敛

答案提示是设ck=bk-uk dk=bk-ak,算出∑dk,∑ck的敛散性再由uk=bk-ck得出结论
但不知道答案的意思。。求教

Answer 1

易知0<=ck<=dk
所以ck，dk是正项级数
而 dk=bk-ak,由ak，bk都 收全省可以得到dk收敛

这样 正项级数 ck收敛
而uk=bk-ck
所以级数uk也收敛

Answer 2

这是级数的一个基本性质。如果级数∑un收敛，∑vn也收敛，则∑(a×un±b×vn)也收敛。若∑un与∑vn一个收敛一个发散，则∑(a×un±b×vn)发散；若∑un与∑vn都发散，则∑(a×un±b×vn)的收敛性无法确定，可能收敛也可能发散。
这里的系数a与b都非零。

Answer 3

补充一下：这个定理是这样的——级数∑ak,∑bk都收敛，则∑(k1*ak+k2*bk)也收敛。
答案：ck=bk-uk ， dk=bk-ak,则∑dk收敛，因为bk-uk<bk-ak,由正项级数比较法，得 ck也收敛，ck收敛，uk=ck-bk,所以也收敛

Answer 4

答案的意思是，有个定理：如果2个收敛的级数，对应级相减后得到的新级数也收敛。

追问

那类似的还有哪些定理啊。。这个答案是收敛-收敛=收敛 ，那收敛+收敛，收敛+发散，发散+发散这样的新级数敛散性如何的

追答

tortelee,补充了定理的内容。就是那个了。