Question

求推导一个数学数列公式

n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1
=n*(n+1)*(2*n+1)/6
求推导过程...

Answer 1

首先a^b表示a的b次方

(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
.
.
.
2^3-1^3=3*1^2+3*1=1

上面 这n个式子累加。

得到(n+1)^3-1=3*(1^2+2^2+....+n^2)+3(1+2+3+....+n)+n
要求的结果 可求

然后移项，可求出结果。。

可以推广到仍以次方。。。
但是前提是比他低的次方的那些序列和都已经求出。。

希望你能明白我的意思。。自己想想。。。

Answer 2

证明：
n^3-(n-1)^3=[n-(n-1)][n^2+n(n-1)+(n-1)^2]=3n^2-3n+1

(n-1)^3-(n-2)^2=3(n-1)^2-3(n-1)+1
....

2^3-1^3=3*2^3-3*2+1

1^3-0^3=3*1^2-3*1+1

以上各式相加得：

n^3=3[n^+(n-1)^2+...+1^2]-3[n+(n-1)+...+1]+n

=3[1^2+2^2+...+n^2]-3n(n+1)/2+n

3{1^2+2^2+...+n^2)=n^3+3n(n+1)/2-n=n(n+1)(2n+1)/2

故：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
n^3=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3=(n-2)^3+3(n-2)^2+3(n-2)+1
……
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
左右两边分别相加并化简3[n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1]=(n+1)^3-1^3-3[n+(n-1)+……+1]+n=n*(n+1)*(2*n+1)/2
所以n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1
=n*(n+1)*(2*n+1)/6

Answer 4

因为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1 所以（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 ....... 2^3-1^3=3*1^2+3*1+1 将以上各式相加，得（n+1）^3-1=3（n^2+(n-1)^2+.....+1^2)+3(n+(n-1)+.....+1)=3（n^2+(n-1)^2+.....+1^2)+3n(n+1)/2 所以n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1
=n*(n+1)*(2*n+1)/6

Answer 5

(n+1)^3= n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1
所以：
1^3 = 0^3 + 3*0^2 + 3*0 + 1
2^3 = 1^3 + 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 = 2^3 + 3*2^2 + 3*2 + 1
………………………………
n^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1
(n+1)^3= n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1
两边对应相加：
1^3 + 2^3 +……+(n+1)^3 =(0^3 + 1^3 +……+n^3)+3(0^2+1^2+……+n^2)+3(0+1+2+……+n)+n
消去立方：
(n+1)^3 = 3(1^2 +2^2+……+n^2)+3n(n+1)/2+n
整理得：
n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1=n*(n+1)*(2*n+1)/6

Answer 6

an=n^2=n(n-1)+n=(1/3)[(n-1)*n(n+1)-(n-2)*(n-1)*n]+n
a(n-1)=(n-1)^2=(1/3)[(n-2)(n-1)*n-(n-3)(n-2)(n-1)]+(n-1)
......
a2=(1/3)[1*2*3-0*1*2]+2
a1=1
叠加
n^2+(n-1)^2+...+1=(1/3)[(n-1)*n(n+1)-0]+n(n+1)/2
=(1/6)n(n+1)[2(n-1)+3)
=n(n+1)(2n+1)/6