Question

如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取5/4 时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

Answer 1

（1）解：设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
当x=0时，y=-2，
∴点A的坐标是（0，-2），
∵正方形的边长2，
∴B的坐标（2，-2），把A（0，-2），B（2，-2），D（4，- ）代入得：
且 ，
解得a= ，b=- ，c=-2
∴抛物线的解析式为： ，
答：抛物线的解析式为： ．

（2）解：①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
=（2-2t）2+t2，
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2-8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．
②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
∴当S= 时，5t2-8t+4= ，得20t2-32t+11=0，
解得t= ，t= （不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，- ）
若R点存在，分情况讨论：
【A】假设R在BQ的右边，这时QR=PB，RQ∥PB，则R的横坐标为3，R的纵坐标为- ，
即R（3，- ），
代入 ，左右两边相等，
∴这时存在R（3，- ）满足题意；
【B】假设R在BQ的左边，这时PR=QB，PR∥QB，
则：R的横坐标为1，纵坐标为- ，
即（1，- ），
代入 ，左右两边不相等，R不在抛物线上；
【C】假设R在PB的下方，这时PR=QB，PR∥QB，则：R（1，- ）代入，
左右不相等，
∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述，存点一点R（3，- ）满足题意．
答：存在，R点的坐标是（3，- ）．

（3）解：如图，M′B=M′A，
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，
设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得： ，
解得：k= ，b=- ，
∴y= x- ，
抛物线 的对称轴是x=1，
把x=1代入得：y=-
∴M的坐标为（1，- ）；
答：M的坐标为（1，- ）．

Answer 2

解：
（1）据题意知：抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，-2），点B（2，-2），点D(4,-2／3)
代入解得 a=1／6 b=-1／3 c=-2
∴抛物线的解析式为：y=(1／6)x ² -（1／3）x-2

（2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ² =PB² +BQ² =（2-2t）² +t²
即S=5t² -8t+4（0≤t≤1）
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t² -8t+4（0≤t≤1）
∴当S=5／4时，5t² -8t+4=5／4
得20t²-32t+11=0，
解得t=1／2，t=11／10（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，-3／2）；

若R点存在，分情况讨论：
[A]假设R在BQ的右边，这时QR=∥PB，则，R的横坐标为3，R的纵坐标为-3／2
即R（3，-3／2），代入y=(1／6)x ² -（1／3）x-2 左右两边相等
∴这时存在R（3，-3／2）满足题意．
[B]假设R在BQ的左边，这时PR=∥QB，则：R的横坐标为1，纵坐标为-3／2，
即（1，-3／2）代入y=(1／6)x ² -（1／3）x-2 左右两边不相等
∴R不在抛物线上．
[C]假设R在PB的下方，这时PR=∥QB，则：R（1，-5／2）
代入，y=(1／6)x ² -（1／3）x-2 左右不相等
∴R不在抛物线上．
综上所述，存点一点R（3，-3／2）满足题意．

（3）延长DB交对称轴与点M
设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入
得 y=（2／3）x -10／3
把x=1代入
y= - 8／3
∴M的坐标为（1，-8／3 ）

Answer 3

解：（1）据题意知：抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，-2），点B（2，-2），
而且6a-3b=2
则
c=-24a+2b+c=-26a-3b=2
，
解得
a=16b=-13c=-2
，
∴抛物线的解析式为：y=
1
6
x2-
1
3
x-2；
（2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
则S=PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2，
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
∴当S=
5
4
时，5t2-8t+4=
5
4
，
得20t2-32t+11=0，
解得t=
1
2
，t=
11
10
（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，-
3
2
）；
若R点存在，分情况讨论：
[A]假设R在BQ的右边，这时QR
∥
.
PB，则，R的横坐标为3，R的纵坐标为-
3
2
即R（3，-
3
2
），代入y=
1
6
x2-
1
3
x-2，左右两边相等，
∴这时存在R（3，-
3
2
）满足题意．
[B]假设R在BQ的左边，这时PR
∥
.
QB，则：R的横坐标为1，纵坐标为-
5
2
，
即（1，-
5
2
），代入y=
1
6
x2-
1
3
x-2，左右两边不相等，R不在抛物线上．
[C]假设R在PB的下方，这时PR
∥
.
QB，则：R（1，-
5
2
）代入，y=
1
6
x2-
1
3
x-2，
左右不相等，
∴R不在抛物线上．
综上所述，存在一点R（3，-
3
2 ）满足题意．

Answer 4

解：（1）A（0，-2）B（2，-2）C（2，0）
因为抛物线过A、B、D
所以可列方程组c=-2
4a+2b+c=-2
16a+4b+c=-2/3
解得a=-1/3
b=2/3
c=-2
所以抛物线为y=-1/3x^2+2/3x-2
（2）①因为P从A到B，所以0≤t≤1
PB=2-2t，QB=t
所以PQ=根号下（（2-2t)^2+t^2）
所以S=5t^2-8t+4
②S=5(t-4/5)^2+4/5
所以t=4/5时S最小，为4/5
此时P（8/5，-2）Q（2，-6/5）
若PB与QR平行
则R在直线y=-6/5上，且QR=PB=2/5
所以R（8/5，-6/5）或（12/5，-6/5）
若QB与PR平行，PQ与BR平行
则R在直线x=8/5上，且PR=4/5
所以R（8/5，-14/5）
综上，R（8/5，-6/5）或（12/5，-6/5）或（8/5，-14/5）

Answer 5

请问第一小问里面的D点是哪来的？？？
还是你的正方形是ABCD而不是OABC???