Question

已知函数f(x)=a-1/|x| ,若函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[m,n](m≠n),求实数a的取值范围

若函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[m,n](m≠n),求实数a的取值范围

Answer 1

首先在分析上采取数形结合思想，易于分析。
再用转化和分类讨论思想
步骤1、画出f(x)-a=-1/|x|的图像
2、问题转化为：已知函数F(x)=-1/|x| ,若函数y=F(x)在[m,n]上的值域为[m-a,n-a](m≠n),求实数a的取值范围
3、再根据F（x)单调性，分别讨论m,n在y轴左侧，两侧和右侧的情况

Answer 2

1）求函数的单调区间
定义域：x>0或x<0
当x>0时，f(x)=a-1/x单调递增
当x<0时，f(x)=a+1/x单调递减
2）根据单调区间分情况讨论
当x>0时，f(m)=m且f(n)=n且m<n，即m=a-1/m且n=a-1/n且m<n，这条式子等价于方程
x=a-1/x有两个不等实根，即二元一次方程x^2-ax+1=0有两个正的不等实根
另一方面，当x<0时，f(m)=n且f(n)=m，即a+1/m=n且a+1/n=m且m<n<0，a=n-1/m=m-1/n
3）根据以上情况，有
（1）对称轴a/2>0，判别式delta=a^2-4>0，且x=0时等式左边=1>0.解得a>2
或（2）a^2=nm+1/mn-2 ，a-a=(n-m)-(1/m-1/n)=(n-m)-(n-m)/mn=(n-m)*(1-1/mn)=0因为n-m不等于0，所以1-1/nm=0，即mn=1，所以a^2=1+1-2=0
综上所述，a的取值范围是{a|a>2或a=0}
包对