Question

f（x）=cos（2x-π/3）+2sin（x-π/4）sin（x+π/4） 求最小正周期和图像的对称轴方程，急！！！请写步骤~

Answer 1

f（x）=cos（2x-π/3）+2sin（x-π/4）sin（x+π/4）
= cos2x cosπ/3+ sin2x sinπ/3+2sin（x-π/4）cos（π/4-x）
= cos2x cosπ/3+ sin2x sinπ/3+2sin（x-π/4）cos（x-π/4）
= cos2x cosπ/3+ sin2x sinπ/3+ sin（2x-π/2）
= cos2x cosπ/3+ sin2x sinπ/3- cos2x
=1/2 cos2x+√3/2 sin2x- cos2x
=√3/2 sin2x-1/2 cos2x= sin(2x-π/6).

函数最小正周期是2π/2=π，
2x-π/6=kπ+π/2,k∈Z.
X= kπ/2+π/3,k∈Z.
对称轴方程是X= kπ/2+π/3,k∈Z.

追问

为什么2sin（x-π/4）cos（x-π/4）
直接变成 sin（2x-π/2）
？

追答

这是二倍角正弦公式2sinacosa=sin2a.
这里a=x-π/4,
2sin（x-π/4）cos（x-π/4）
=sin[2（x-π/4）]=sin（2x-π/2）

Answer 2

后一项变成2sin（x-π/4）cos（x-π/4）就可以合并了

Answer 3

f(x)=cos(2x-π/3)+2sin(x-π/4)sin(x+π/4)
=(cos2x)/2+（
根号3*sin2x）/2+（
sin2x+cos2x
）(sin2x-cos2x)=(-1/2)cos2x+
根号3*sin2x）/2=cos(2x+π/6)
最小正周期为11π/12，对称轴x=kπ/2-π/12,k
为整数
(2).k=0,x=-π/12,
k=1,x=5π/12
f(x)在[-π/12,5π/12]上单调递减
当x=-π/12时取到最大值为1,当x=5π/12时取到最小值为-1,值域为[-1,1]