Question

在△abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若sinA sinB sinC=根号3/2(sin^2A+sin^2B-sin^2C)

(1)求角C的大小
（2）求y=sinA+sinB(A≥π/4）的值域

Answer 1

(1) sinA sinB sinC=根号3/2(sin^2A+sin^2B-sin^2C)
sinC=(√3/2)(sin^2A+sin^2B-sin^2C)/sinAsinB
由正弦定理，右边转为边的形式
sinC=√3(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
由余弦定理知，sinC=√3cosC
tanC=√3
C=π/3
(2) B=π-A-C=2π/3-A
y=sinA+sinB=sinA+sin(2π/3-A)
=2sin(π/3)cos(π/3-A)
=√3cos(π/3-A)
=√3sin(A+π/6)
因π/4≤A<2π/3 5π/12≤A+π/6<5π/6
所以值域y∈(√3/2, √3]

追问

sinC=√3(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
这一步不是很懂，角化边不是会出现2R的吗

追答

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC
代入后，分子分母约去了

Answer 2

(sinA)^2＋(sinB)^2＋(sinC)^2＋2sinAsinB＋2sinBsinA＋2sinCsinA
＝3(sinA)^2＋3(sinB)^2＋3(sinC)^2
2(sinA)^2＋2(sinB)^2＋2(sinC)^2－2sinAsinB－2sinBsinA－2sinCsinA＝0
[(sinA)^2＋(sinB)^2－2sinAsinB]＋[(sinB)^2＋(sinC)^2－2sinBsinC]＋[(sinC)^2＋(sinA)^2－2sinCsinA]＝0
(sinA－sinB)^2＋(sinB－sinC)^2＋(sinC－sinA)^2＝0
∴sinA＝sinB＝sinC
∴∠A＝∠B＝∠C
等边三角形