Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，且S12>0,S13<0 求前几项的和最大？为什么？

Answer 1

A1=A3-2d=12-2d
S12=12A1+66d=12(12-2d)+66d=144+42d>0,

∴d>-144/42=-24/7.
S13=13A1+78d=13(12-2D)+78d=156+52d<0,

∴d<-156/52=-3
故-24/7<d<-3.
设前n项和最大,

则由An=A1+(n-1)d=12-2d+(n-1)d=12+(n-3)d>0

得n<(-12/d)+3
故12*(7/24)+3=6.3<n<12/3+3=7,

应取n=6,即前6项都是正数,从第7项起为负数,

故前6项之和最大.

Answer 2

依题意，有S12=12a1+12×(12-1)2•d＞0，
S13=13a1+
13×(13-1)2•d＜0
即2a1+11d＞0①a1+6d＜0②
由a3=12，得a1=12-2d③，
将③式分别代①、②式，得24+7d＞03+d＜0
∴-
247＜d＜-3．
由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0，an+1＜0，
则Sn就是S1，S2，，S12中的最大值．S12＞0S13＜0⇒
a1+5d＞-
d2＞0a1+6d＜0⇒
a6＞0a7＜0
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．

Answer 3

前6项的和最大。由S12>0,S13<0知a6>0