Question

在三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且1+cos（π+2A）=2sin2[﹙B+C﹚÷2]

（1）求角A的大小；（2）当a=6时，求其面积的最大值，并判断此时三角形ABC的形状
2sin^2[﹙B+C﹚÷2]

Answer 1

(1)1+cos(π+2A)=1-cos2A=2sin^2A=2(1-cos^2A)=2sin^2[(B+C)/2]=1-cos(B+C)=1+cosA
=>cosA=1/2 =>A=60°
(2)由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=4√3
=>b=4√3sinB,c=4√3sinC
=>S=1/2*b*c*sinA=12√3sinBsinC
sinBsinC=-1/2[cos(B+C)－cos(B-C)]=1/2[cos(B-C)－1/2]
当cos(B-C)=1，即B=C=60°时，sinBsinC取最大值，此时面积即有最大值S=3√3。
ΔABC为等边三角形

追问

能不能帮我看一下1/2[cos(B-C)－1/2]
这一步是不是算错了，应该是1/2[cos(B-C)+1/2]
最大S=9√3，对么？
谢谢，如果解答，可以加分

追答

哈哈，你算对了，不好意思啊，谢谢指正

Answer 2

1+cos（π+2A）=2sin2[﹙B+C﹚÷2] 变形：
1-cos2A = 2 sin2[﹙π-A﹚÷2]
1-(1-2*SinA*SinA) = 2 sin﹙π-A﹚
2* SinA*SinA = 2 sin﹙A﹚
Sin(A)=1,
A= π/2 {90度}

面积Sabc= b * c /2 = aSinB * aCosB / 2 = (a^2/4) * Sin2B
当B=45度时，面积最大= a^2/4。等腰直角三角形。

追问

第一小题就错了

Answer 3

(1)1+cosπcos2A-sinπsin2A=2sin2[B/2+C/2]
1+cosπcos2A-sinπsin2A=2sin(B+C)
1-cos2A=2sinA
2sin平方A=2sinA
sinA=1
A=90°
（2）cosA=(c平方+b平方-a平方)/(2cb)
c平方+b平方-a平方=0
c平方+b平方=36
（c平方+b平方）大于等于2cb
即36大于等于2cb
cb小于等于18
S最大=1/2*cbSINA=1/2*18*1=9;
当且仅当c=b=9时取到最大值，
c=b=9
等腰直角三角形
（不知道对不对）

追问

第一小题就错了

Answer 4

等边三角形