Question

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。设椭圆的长轴长为10，中心为（3,0），

一个焦点在直角坐标系的原点，当椭圆的过直角坐标系的原点的弦的长度为640/91时，求弦所在直线的直角坐标方程

Answer 1

以椭圆的左焦点为极点,x轴正半轴建立极坐标系.在此极坐标系,椭圆的极坐标方程为
ρ=(ep)/(1-ecosθ))(此公式为圆锥曲线的统一极坐标方程,0<e<1时是椭圆, e=1时是抛物线 ,e>1时是双曲线,对于椭圆和双曲线,p=b^/c),特别地,对于椭圆和双曲线又可写为ρ=b^/(a-ccosθ),化成直角坐标方程为(x-c)^/a^±y^/b^=1("±"中"-"用于双曲线).
(1) 对于本题,
椭圆的2a=10, ∴ a=5, c=3, ∴ b^=16, ∴ 直角坐标方程为(x-3)^/25+y^/16=1,极坐标方程为ρ=16/(5-3cosθ)
(2) 设直线的极坐标方程为θ=α,交椭圆于A(ρ1,α),B(ρ2,π+α),则
|AB|=ρ1+ρ2=16/(5-3cosα)+16/(5+3cosα)=160/[25-9(cosα)^]=640/91, ∴ (cosα)^=1/4, ∴ k=tanα=±√3∴ 弦所在直线的直角坐标方程为y=±√3x