Question

离散数学-代数结构问题 求6阶循环群｛e，a，a2，…，a5｝的各阶子群。 越详细越好，谢谢～

Answer 1

首先，子群的阶是6的约数：1,2,3,6
其次，1阶子群H1的生成元是a^6（a的6次方）＝e，所以H1={e}。
2阶子群H2的生成元是a^3，所以H2={e,a^3}。
3阶子群H3的生成元是a^2，所以H3={e,a^2,a^4}。
6阶子群H4的生成元是a，所以H4就是原来的群本身{e,a,a^2,a^3,a^4,a5}。

Answer 2

有限群的子群的阶数是母群的因子,

6的因子有{1,2,3,6},故有4个子群,分别是,

{e},即单位元群, e=a^0,
{e,a3}
{e,a2,a4}
{e,a1,a2,a3,a4,a5}

(不理解请追问)

追问

请问子群中的元素是如何得出的？没学好，不好意思

追答

定义：.设H是群的非空子集，则H是G的子群当且仅当H满足下列两条件之一：
　　（1）对任意a,b∈H，a·b∈H 且a^(-1)∈H；
　　（2）对任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。
　　任何群有两个平凡的子群：G和，其中e是G的幺元。

根据“拉格朗日定理”，可知6有1、2、3、6四个约数，子群有1阶、2阶、3阶、6阶循环群，
其中每个子群必须含幺元e，所以一阶的就是{e}，二阶的含e，在一个一个试，满足子群的定义即可，三阶、六阶等类似，我们老师将没有什么简便方法，都是靠经验看出来 或者 一个一个试出来的，关键就是“拉格朗日定理”，需要得出所有子群的阶数。

Answer 3

根据西罗定理，其子群的阶只可能是1，2，3，6
6的时候就是群本身，把每个元素的阶写出来，假设ai=i个a相乘a1=6 a2=3 a3=2 a4=3 a5=6
两个平凡个子群｛e｝，｛e，a，a2，…，a5｝ 元素的阶数整除群的阶数 2阶的只有｛e，a3｝
3阶的也只有｛e，a2，a4｝

Answer 4

就是6的约数，6有1、2、3、6四个约数，子群有1阶、2阶、3阶、6阶循环群

追问

能详细的写出来吗？可追加分数

追答

这就是详细的了吧，还要怎么个详细法

追问

考试，总不能写6的约数吧。。。

追答

考试只需要写
因为6的约数有……
所以子群有……

Answer 5

,a,a^2,a^3,a^4,a5