Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AA1的中点,N为A1B1上的点,满足A1N=1/3NB1,P为底面正方形A1B1C1D1的中心

求证：MN垂⊥MC,MP⊥B1C

Answer 1

（几何类题多是要添辅助线，证垂直的多用三垂线定理）
证明：连接BM，
∵ABCD-A1B1C1D1是正方形。
∴CB⊥面BAA1B1。
∴BM是MC在面BAA1B1的投影。
∵A1N=1/3NB1
∴A1N=1/4AB1=1/4AA1=1/2AM
∵MA=1/2AB
∴三角形ABM相似于三角形A1MN
∴角AMN与角BMA互余
∴BM⊥MN
∴MC⊥MN（三垂线定理）

（证明MP⊥B1C，也可以用三垂线定理，添辅助线办法很多，
1，你可以取AD中点E，连接ME，取A1D1中点F，连接MF，PF，可由三垂线定理推出MP⊥ME，再由MP⊥ME和ME//B1C推出MP⊥B1C
2，连接A1D，A1D//B1C，通过三垂线证MP⊥A1D即可
还有很多种添法，你可以自己尝试一下）