Question

已知函数f(x)是一次函数，且f（8）=15，f（2),f（5），f（14）成等比数列，设an=f(n)，（n∈N*)

已知函数f(x)是一次函数，且f（8）=15，f（2),f（5），f（14）成等比数列，设an=f(n)，（n∈N*)
(1)求｛an}的前n项和Tn
（2）设bn=2^n，求数列{anbn}前n项和Sn

Answer 1

设f(x)=kx+m
f(8)=8k+m=15
m=15-8k
f(x)=kx+15-8k
f（2），f（5），f（14）成等比数列:
(15-6k)(15+6k)=(15-3k)^2
k=2
f(x)=2x-1
an=2n-1
an 是等差数列，Tn=（1+2n-1）n/2=n^2

bn=2^n
an×bn=(2n-1)×2^n
Sn=1×2^1+3×2^2+5×2^3+7×2^4+……+(2n-3)×2^(n-1)+(2n-1)×2^n
2Sn=1×2^2+3×2^3+5×2^4+7×2^5+……+(2n-3)×2^n+(2n-1)×2^(n+1)
Sn-2Sn=-Sn
=1×2^1+(3×2^2-1×2^2)+(5×2^3-3×2^3)+……
+[(2n-1)×2^n-(2n-3)×2^n]-(2n-1)×2^(n+1)
=1×2^1+2(2^2+2^3++……+2^n)-(2n-1)×2^(n+1)
=2+2[2^(n+1)-4]-(2n-1)×2^(n+1)
=[2-(2n-1)]×2^(n+1)-6
=(3-2n)×2^(n+1)-6
∴Sn=(2n-3)×2^(n+1)+6

an 是等差数列，Tn=（1+2n-1）n/2=n^2

Answer 2

步骤：设f（x）=ax+b，将x=8代入然后等于15.此为式（1）。利用等比数列性质，此题即f（5）的平方=f（2）*f（14），简化此式，为式（2）。利用此两式可解得a和b的值，即知道了f（x），再由an=f（n），将x换成n代入即得an的表达式。检验一下an符合等差数列性质还是符合等比数列性质，再求其前n项和，第一问就完了。
第二问是bn=2的n次方吧？是的话，设Cn=an*bn，由于an和bn都为已知，代入可知Cn表达式，检验一下Cn符合等差数列性质还是符合等比数列性质，再求其前n项和Sn，第二问就结束啦，细心点，应该能拿满分的。呵呵

Answer 3

假设函数f(x)=k*x+d;则a(n)=k*n+d(k不等于0);
根据条件可得方程组{8k+d=15; (5k+d)^2(平方的意思)=（2k+d)(14k+d);}
解得：k=2,d=-1;
（1）an的前n项和Tn=n^2
(2)anbn=2n*(2n-1)=4n^2-2n

Answer 4

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