Question

正余弦定理试题？

1，已知△ABC中，cosA=4/5 (a-2):b:(c+2)=1:2:3,判断△ABC形状
2，证明(a^2-b^2-c^2)tanA+(a^2-b^2+c^2)tanB=0; cos2A/a^2-cos2B/b^2=1/a^2-1/b^2

Answer 1

解：1.由(a-2):b:(c+2)=1:2:3设a-2=t,b=2t,c+2=3t,(t>0)
即：a=t+2,b=2t,c=3t-2
由余弦定理得：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
所以：[(2t)²+(3t-2)²-(t+2)²]/[2*(2t)*(3t-2)]=4/5
解得：t=4
则：a=6,b=8,c=10,
有：a²+b²=c²
所以△ABC是直角三角形，其中∠C是直角。

2(1)由余弦定理得：2bc=(b²+c²-a²)/cosA,2ac=(a²+c²-b²)/cosB,
所以：(a²-b²-c²)tanA+(a²-b²+c²)tanB
=-(b²+c²-a²)sinA/cosA+(a²+c²-b²)sinB/cosB
=-2bcsinA+2acsinB
=-2(bcsinA-acsinB)
又由三角形面积公式得：
S=bcsinA/2=acsinB/2
即：bcsinA-acsinB=0
所以：(a²-b²-c²)tanA+(a²-b²+c²)tanB=0

2(2)cos2A/a²-cos2B/b²
=(1-2sin²A)/a²-(1-2sin²B)/b²
=1/a²-1/b²+2(sin²B/b²-sin²A/a²) （*)
由正弦定理得：a/sinA=b/sinB，即：sin²A/a²=sin²B/b²
则：sin²B/b²-sin²A/a²＝0
所以由（*）可证得：
cos2A/a²-cos2B/b²=1/a²-1/b²

追问

顺便问下 这道怎么做？
当X<1.5,求函数Y=X+8/(2X-3)的最大值,并求出此时X的值.

追答

因为x0
则y=x+8/(2x-3)=-[(1.5-x)+4/(1.5-x)]+1.5
由均值定理得
(1.5-x)+4/(1.5-x)≥2√[(1.5-x)*4/(1.5-x)]=4 （当且仅当1.5-x)＝4/(1.5-x)即x=-0.5时取等号）
这就是说当x=-0.5时(1.5-x)+4/(1.5-x）有最小值4
也就是-[(1.5-x)+4/(1.5-x)]有最大值-4
所以当x=-0.5时，函数有最大值-2.5