Question

求几道导数题。

Answer 1

高二数学（理）导数综合题
1. (2011.1东城，文18)
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅱ）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．

2. （2010.4崇文一模18）
已知（）．
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）当时，若对有恒成立，求实数的取值范围．

3. （2009北京卷，理18）
设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.

4. （2011.1东城，理18）
已知函数．
（Ⅰ）求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若存在（为自然对数的底数，且）使不等式
成立，求实数的取值范围．

5. （2011.1西城，文19）
已知函数.
(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；
(Ⅱ)求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

6. （2011.1西城，理19）
已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

7. （2010北京卷，理18）
已知函数.
当，求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间.

8. （2010.4西城一模19）
已知函数，其中．
（Ⅰ）求函数的零点；
（Ⅱ）讨论在区间上的单调性；
（Ⅲ）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

导数综合题答案
1. 解：（Ⅰ）由，
可得．
令，解得．
因为当或时，；当时，，
所以的单调递增区间是和，
单调递减区间是．
又，，
所以当时，函数有极大值；
当时，函数有极小值． ……………………6分
（Ⅱ）．
由已知对于任意恒成立，
所以对于任意恒成立，
即 对于任意恒成立.
因为，所以（当且仅当时取“=”号）．
所以的最小值为2．
由，得，
所以恒成立时，实数的取值范围是．…………13分

2. 解：（Ⅰ）
（1）当，即时，，不成立．
（2）当，即时，单调减区间为．
（3）当，即时，单调减区间为．-------------------5分
（Ⅱ），
在上递增，在上递减，在上递增．
（1）当时，函数在上递增，
所以函数在上的最大值是，
若对有恒成立，需要有解得．
（2）当时，有，此时函数在上递增，在上递减，所以函数在上的最大值是，
若对有恒成立，需要有 解得．
（3）当时，有，此时函数在上递减，在上递增，
所以函数在上的最大值是或者是．
由，
①时，，
若对有恒成立，需要有解得．
②时，，
若对有恒成立，需要有 解得．
综上所述，． -------------14分

3. 解：（Ⅰ）,
曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.

4. 解：（Ⅰ）由，可得， …………………2分
　　 当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以函数在上单调递增．
又，
所以函数在上的最小值为． …………………6分
（Ⅱ）由题意知，则．
若存在使不等式成立，
只需小于或等于的最大值．
设，则．
当时，单调递减；
当时，单调递增．
由，，，
可得．
所以，当时，的最大值为．
故． ………………13分

5. 解：(Ⅰ)由已知， ………………2分
.
故曲线在处切线的斜率为. ………………4分
(Ⅱ). ………………5分
①当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为. ………………6分
②当时，由，得.
在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. …………8分（Ⅲ）由已知，转化为. ………………9分
………………10分
由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.) ………………11分
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，， ………13分
所以，
解得. ………………14分

6. 解：. ………………2分
（Ⅰ），解得. ……………3分
（Ⅱ）. ……………5分
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是. ……………6分
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是. …………7分
③当时，， 故的单调递增区间是. ………8分
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ………9分
（Ⅲ）由已知，在上有. ………………10分
由已知，，由（Ⅱ）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，故. ……………11分
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，， ………………13分
综上所述，. ………………14分

7. 解：（I）当时，
由于所以曲线处的切线方程为
。即
（II）
当时，
因此在区间上，；在区间上，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，得;
因此，在区间和上，；在区间上，；
即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，.的递增区间为
当时，由，得；
因此，在区间和上，，在区间上，；
即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为。

8. 解：（Ⅰ）解，得，
所以函数的零点为. …………………2分
（Ⅱ）函数在区域上有意义，
， …………………5分
令，得，，
因为，所以，.…………………7分
当在定义域上变化时，的变化情况如下：

↗ ↘

所以在区间上是增函数， ………8分
在区间上是减函数. …………………9分
（Ⅲ）在区间上存在最小值. …………………10分
证明：由（Ⅰ）知是函数的零点，
因为，
所以， …………………11分
由知，当时，， …………………12分
又函数在上是减函数，且，
所以函数在区间上的最小值为，且，………………13分
所以函数在区间上的最小值为，
计算得. …………………14分