Question

已知tanα，tanβ是关于x的方程x²-5mx-4=0的两个实数根（m∈R），且α+β≠kπ+π/2（k∈Z）,

求sin²（α+β）+1/2 msin(2α+2β)的取值范围

Answer 1

tanα+tanβ=5m,
tanαtanβ=-4,
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/[1-tanαtanβ]=5m/5=m,
sin²（α+β）+1/2 msin(2α+2β)=sin（α+β）[sin（α+β）+cos（α+β）*m]
=sin（α+β）[sin（α+β）+cos（α+β）*sin（α+β）/cos（α+β）]
=2sin²（α+β）
=1-cos[2（α+β）]
2（α+β）=2kπ时，最小1－1＝0，
2（α+β）=2kπ＋π时，最大1-(-1)=2,而α+β≠kπ+π/2，应取开区间，没有最大值，
取值范围为[0,2）.

Answer 2

根据题意有：
tana+tanb=5m
tanatanb=-4.

因为：
tan(a+b)
=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
=5m/5=m.

所以：
tan^2(a+b)=sin^2(a+b)/cos^2(a+b)=m^2,即：
sin^2(a+b)=m^2(1-sin^2(a+b))
所以:sin^2(a+b)=m^2/(1+m^2).

利用万能公式有：
sin(2a+2b)=sin2(a+b)=2tan(a+b)/(1+tan^2(a+b))=2m/(1+m^2)

所以：
f=sin²（α+β）+1/2 msin(2α+2β)
=m^2/(1+m^2)+m^2/(1+m^2)
=2m^2/(1+m^2)

所以fmin=0,fmax=2,即取值范围为[0,2].

追问

为什么最大值是2？

追答

应该是[0,2)，因为f=2/(1+1/m^2),当m无穷大的时候，1/m^2无穷小，即接近于0，所以此时有最大值f=2.