Question

a,b,c是不全等的正数,证明:2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

数学题,帮哈忙!!

Answer 1

2(a^3+b^3+c^3)-[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]
=(a^3+b^3-a^2b-ab^2)+(a^3+c^3-a^2c-ac^2)+(b^3+c^3-b^2c-bc^2)
=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2
＞0
所以2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

Answer 2

不等是右边即是 ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)
下面证明a^3+b^3＞ab(a+b)
即要证明a^3+b^3-ab(a+b)＞0
左边因式分解得(a+b)(a-b)^2
因为a、b不相等，所以左边大于0，即a^3+b^3-ab(a+b)＞0，即a^3+b^3＞ab(a+b)
同理可得b^3+c^3＞bc(b+c),a^3+c^3＞ac(a+c)
将三式相加即得2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
^_^~

Answer 3

利用算几不等式 A+B+C>=三次根号(ABC)
a^3+a^3+b^3>=3*三次根号(a^3*a^3*b^3)=3a^2*b
a^3+a^3+c^3>=3*三次根号(a^3*a^3*c^3)=3a^2*c
相加得 4a^3+b^3+c^3>=3a^2(b+c)
同理有 4b^3+a^3+c^3>=3b^2(a+c)
4c^3+a^3+b^3>=3c^2(a+b)
三式相加得 6(a^3+b^3+c^3)>=3[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]
因为a,b,c不全相等，所以不能取等号，两边都除以3得
2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)