Question

线性代数(一) 2011年上半年第二次作业

Answer 1

解: |A-λE| =
3-λ 2 4
2 -λ 2
4 2 3-λ

c1-2c2,c3-2c2
-1-λ 2 0
2+2λ -λ 2+2λ
0 2 -1-λ

r2+2r1+2r3
-1-λ 2 0
0 8-λ 0
0 2 -1-λ

=(-1-λ)^2(8-λ)

所以A的特征值为 λ1=λ2=-1, λ3=8

(A+E)X=0 的基础解系为 a1=(-1,2,0)',a2=(-1,0,1)'
(A-8E)X=0 的基础解系为 a3=(2,1,2)'

令P=(a1,a2,a3), 则P非奇异，且满足P^-1AP=diag(-1,-1,8).

正交化:
令b1=a1
b2=a2-(a2,b1)/(b1,b1)b1=(-1,0,1)'-(1/5)(-1,2,0)'
=(1/5)(-4,-2,5)
单位化:
c1=b1/||b1||=(1/√5)(-1,2,0)'
c2=b2/||b2||=(1/3√5)(-4,-2,5)'
c3=a3/||a3||=(1/3)(2,1,2)'

令Q=(c1,c2,c3), 则Q为正交矩阵，
且满足Q^-1AQ=Q^TAQ=diag(-1,-1,8).

Answer 2

自己学习