Question

如图所示，圆O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，∠DEF=75°，BG过圆O的圆心O，交AC于G。AB=6,AG=4。

如图所示，圆O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，∠DEF=75°，BG过圆O的圆心O，交AC于G。AB=6,AG=4。
（1）求∠A的度数
（2）求△ABG的面积S
（3）求内切圆半径r

Answer 1

1.
连接OD、OF，则OD⊥AB，OF⊥AC
∠DOF=2∠DEF=150° (同弧所对的圆周角是圆心角的一半)
∵∠A+∠DOF+∠ODA+∠OFA=360° (四边形内角和360°)
即：∠A+150°+90°+90°=360°
∴∠A=30°

2.
过G作GH⊥AB于H，
∵∠A=30°
∴GH=AG/2=2 (RT△中30°角所对的边是斜边的一半)
∴S△ABG=(1/2)AB×GH=(1/2)×6×2=6

3.
连接OA
∵S△ABG=S△ABO+S△AGO=6
S△ABO=(1/2)AB×DO=(1/2)×6r=3r
S△AGO=(1/2)AG×OF=(1/2)×4r=2r
∴2r+3r=6
r=1.2

Answer 2

1
圆心角FOD=2圆周角DEF=2*75=150
OD垂直AB,OF垂直AC
四边形ADOF中,FOD+A=180
A=30
2
B到AC的距离为Hag
Hag=AB*(1/2)=6*(1/2)
Sabg=H*AG*=6*(1/2)*4*1/4=6
3
Sabg=(AB+AG)r/2
r=6/5 =1.2