Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm,点P从点A出发，以2cm每s的速度向终点B运动

在等腰梯形ABCD中,AB‖DC,AB=8cmCD=2cm,AD=6cm.点P从A点出发,以2cm/s地速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有有运动即终止）。设P、Q同时出发并运动了t s，当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值。

Answer 1

首先要知道，分成直角梯形时，QP在一条竖线上，垂直AB的。
Q在DC上，P在AB上会不会成一条竖，不会，
（因为P.Q距离相差3，速度差1，DC才2，P是追不上Q的，这个过程要再脑子里很快就出现。）
那么就要分步思考，先想想，
当Q到C点的时候，P在哪？
P在AB的中点，也就是DC中点对下来的位置。
然后P继续向前，Q延CA返回，这个时候PQ才有可能在一条竖线上。
画下图，自己画个PQ，并把PQ延长交DC于M,过C作垂线交AB于N
通过计算可得，AC=√61
CQ/CM=CA/AP
T-2/CM=√61/5
CM=5(T-2)/√61

PN=2T-5
列个方程5(T-2)/√61=2T-5
接下来就是解方程的事了。你自己再算算。我经常会算错的。

Answer 2

过C点做梯形ABCD的高CE，勾股定理求出CE=3倍根号3，CQ=t，AP=2t，BE=8-3t，
由勾股定理得 bc方-ce方=be方，最后求出t=5/3，t=11/3，因为t小于2，所以t=5/3秒

Answer 3

PQ将ABCD分成两直角梯形。Q需在CD上，P需在AB上，且PQ垂直AB与CD ,既而CQ+AP=5(从C向AB作垂线，由等腰梯形性质可知）即2t+t=5得t=5/3

Answer 4

分析： （1）可通过构建直角三角形来求解．过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，很显然AE=BF，四边形DQPE和QCFP是矩形，那么就能用等腰梯形的上下底的差求出AE，BF的长，然后可用时间表示出CQ，DQ，AP的长，由于DQ=EP，因此可用AP=AE+EP求出时间的值．
（2）先要求出梯形的面积，那么求出高就是关键，在直角三角形AED中，可用勾股定理求出高，也就求出了四边形QPBC的面积，由于Q在CD和DA上运动，因此要分Q在CD上，和Q在AD上两种情况进行讨论．
当Q在CD上时，可用时间t表示出CQ和BP的长，然后根据计算出的高和四边形CQPB的面积，来求出时间t的值，要注意当Q在CD上时，t应该在0-2秒内，可用这个取值范围来判定求出的值是否符合题意．
当Q在AD上时，四边形QPBC是个不规则的四边形，那么根据他的面积是梯形的一半，那么四边形QPBC的面积就应该等于三角形CDQ和AQP的面积和，那么就需要作出这两个三角形的高以便求出面积，过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H．求出QH和QG就是解题的关键．
可以用时间t先表示出CQ，AP，然后根据CD+DQ=CQ进而表示出QD和AQ，那么我们可在直角三角形AQG中根据∠A的度数求出QG，然后根据求出的梯形的高得出QH的值，这样就能用含t的式子表示出三角形QDC和AQP的面积，也就是四边形QPBC的面积，根据求出的四边形的面积可得出t的值，要注意Q在AD上时，取值范围是2-4秒，因此可根据这个取值范围判定求出的t是否符合题意．
解答： 解：（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE=CF．
又∵AD=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF，AE=BF．
又CD=2cm，AB=8cm，
∴EF=CD=2cm，
AE=BF= 12（8-2）=3（cm）．
若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形．
∵CQ=t，
∴DQ=EP=2-t，
∵AP=AE+EP，
∴2t=3+2-t，
∴t= 53．

（2）在Rt△ADE中，DE= 36-9=33（cm），
S梯形ABCD= 12（8+2）×3 3=15 3（cm2）．
当S四边形PBCQ= 12S梯形ABCD时，
①如图2，若点Q在CD上，即0≤t≤2，
则CQ=t，BP=8-2t．
S四边形PBCQ= 12（t+8-2t）×3 3= 1532，
解之得t=3（舍去）．
②如图3，若点Q在AD上，即2＜t≤4．
过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H．
由图1知，AQ=8-t，QG=AQ•sin60°= 3(8-t)2，
∴∠ADE=30°，
则∠A=60度．在Rt△AQG中，AQ=8-t，QG=AQ•sin60°= 3(8-t)2，
在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t-2，QH=DQ•sin60°= 3(t-2)2．
由题意知，S四边形PBCQ=S△APQ+S△CDQ= 12×2t× 3(8-t)2+ 12×2× 3(t-2)2=1532，
即t2-9t+17=0，解之得 t1=9+132（不合题意，舍去）， t2=9-132．
答：存在 t=9-132，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．
点评： 本题要根据Q点的位置来判断四边形CQPB的形状，进而选择合适的解题方法．本题中通过辅助线作出梯形的高，构建出直角三角形是解题的关键．

Answer 5

t=5/3s