Question

已知x^2+y^2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是？

Answer 1

x-2y的最大值是 10 。
解：
将方程x^2+y^2-2x+4y=0化为圆的标准形式，得
(x-1)^2 + (y+2)^2 = 5

令
x-1 = √5sint
y+2 = √5cost
则
x-2y = √5sint - 2√5cost + 5
= √5(sint -2cost) + 5
= √5*√5(√5/5sint - 2√5/5cost) + 5
= 5sin(t - α) + 5
所以
x-2y 的最大值是
(x-2y)max = 5+5 =10
当sin(t - α) = 1 时取得
其中α = arcsin(2√5/5)

注：
此类题的解法有很多。
除此解法外可以利用数形结合求解。
由圆的方程知，圆心为 (1,-2), 半径为 r = √5
x-2y的最大值实际是过圆心垂直于直线x-2y = 0的直线与圆的最远交点的距离的√5倍 ，即 √5*2√5 = 10

另外也可以令 x-2y = k
将 x= 2y＋k代入方程中，得到关于y的一元二次方程，
因为y为实数，即这个关于y的方程有实数解，
则判别式△≥0
从而也可求得k的值。