Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c，若对x1，x2∈R且x1<x2，f(x1)≠f(x2)，

方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x1，x2)

Answer 1

证明：
∵f(x1)≠f(x2).
不妨设f(x1)＜f(x2).
另设f(x1)=A1,f(x2)=A2,A=(A1+A2)/2.
易知，A1＜A＜A2.
构造函数g(x)=f(x)-A. (x1＜x＜x2)
g(x1)=f(x1)-A=A1-A＜0.
g(x2)=f(x2)-A=A2-A＞0.
∴由“零点存在定理”可知，
必存在实数m∈(x1,x2),
满足g(m)=f(m)-A=0.
即满足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.
∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在（x1,x2)内必有一实数根。

Answer 2

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c.若对x1,x2∈R且x1<x2，f(x1)≠f(x2),方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于（x1,x2）
当x2＜-b/(2a)或x1＞-b/(2a)时：
可知f(x)在(x1,x2)内是单调的。不妨设f(x1)＜f(x2)，则必有f(x1)＜1/2[f(x1)+f(x2)]＜f(x2)，因此必然存在实数m∈(x1,x2)满足f(m)=1/2[f(x1)+f(x2)]。同理当f(x1)＞f(x2)时也成立。
当x1＜-b/(2a)且x2＞-b/(2a)时：
若-b/(2a)-x1＜x2+b/(2a)，可设x1′=-b/a-x1，则有f(x1′)=f(x1)，且f(x)在(x1′,x2)是单调的，以后证法同上。同理当-b/(2a)-x1＞x2+b/(2a)时也成立