Question

数列不等式题。。

已知a[i]>=i,(i=1,2,...,n),a[i]+a[2]+......+a[n}>=[n(n+1)^2]/2.求证：∑i=1 to n（a[i]-i)/(i+∑j≠i a[j])
图片我发到我的百度空间那。。。
http://hi.baidu.com/%CA%FD%D1%A7lover/album/item/6ec8d0126f98738aac6e75ce.html#

Answer 1

确实有简洁解法：
首先为了方便表达，设s = a[1]+a[2]+...+a[n]. 另设w = n(n+1)/2.
则：
sum[i=1..n] (a[i] - i)/(i+sum[ j ≠ i ] a[j] ]
= sum[i=1..n] (a[i] - i) / ( s - (a[i] - i ) )
每个分式加1：
= (sum[i=1..n] s / (s-(a[i]-i) ) ) - n

用Cauchy不等式的一个形式：
sum(a/b) >= (sum(sqrt(a))^2 / sum(b)

则原式
>= (n*sqrt(s))^2 / (n*s - s + w) - n
= (n^2*s)/(n*s - s + w) - n
= (n*s - n*w) / (n*s - (s - w))
因为s - w >= (n(n+1)^2)/2 - n(n+1)/2 = n^2(n+1)/2 = n*w
所以原式>=1.

追问

很好。。。和我的一样。。。
分给你。

Answer 2

∑_{i=1 to n} 1/(i+∑j≠i a[j]) >= ∑_{i=1 to n} 1/(a[i]+∑j≠i a[j]) = 1/∑_{i=1 to n} a[i]
∑_{i=1 to n} （a[i]-i) = ∑_{i=1 to n} a[i]- ∑_{i=1 to n} i = ∑_{i=1 to n} a[i]- n(n+1)/2

∑_{i=1 to n} （a[i]-i) /(i+∑j≠i a[j]) >= {1/∑_{i=1 to n} a[i]}* ∑_{i=1 to n} （a[i]-i)
= 1 - n(n+1)/2 * {1/∑_{i=1 to n} a[i]}
>= 1 - n(n+1)/2 * {2/[n(n+1)^2]}
= 1 - 1/(n+1)

追问

你的证明有问题。。。

追答

a>b>0
0-1/a>-1/b
有啥问题吗？

Answer 3

这个命题是错误的吧？

∵a[i]>=i
∴∑i=1 to n（a[i]-i)/(i+∑j≠i a[j])≥∑i=1 to n（a[i]-i)/(a[i]+∑j≠i a[j])
　　　　　　　　　　　　　 =∑i=1 to n（a[i]-i)/(∑ a[j])
=(∑a[i]-∑i)/(∑ a[j])
=1-∑i)/(∑ a[j])；≥0
得不出你图片上要的结果，就是≥1

追问

这是正确的。。。至少n在10以内正确。。。而且我已经证明了。。。我出来考一下人而已。顺便送送分

追答

呵呵，那你把我证明错误的地方给指出来呗

追问

很明显你把i放缩成a[i]这一步放过头了。。。给个提示你。。。用柯西T2引理。。。再加上一个小技巧。。。

追答

我看不出来，因为是a[i]>=i，那你把正确的答案写一下呗，共同探讨下。

Answer 4

看图 

如果看不清，可以先复制，再粘贴到“画图”里面就可以看清了

追问

你的证明有点复杂。。。我的证明就几行字

追答

那你说你怎么证的
其实我证的也不复杂的，中间一大段可以直接用柯西不等式的变式得到，只是我没直接使用而已。。。

Answer 5

这个命题是错误的吧？

∵a[i]>=i
∴∑i=1 to n（a[i]-i)/(i+∑j≠i a[j])≥∑i=1 to n（a[i]-i)/(a[i]+∑j≠i a[j])
　　　　　　　　　　　　　 =∑i=1 to n（a[i]-i)/(∑ a[j])
=(∑a[i]-∑i)/(∑ a[j])
=1-∑i)/(∑ a[j])；≥0
得不出你图片上要的结果，就是≥1 （（（（（（（ 抄袭档羞射出现

Answer 6

就假设i=1，特殊带入，就可以简单证明了；或者把它看成一个等差数列