Question

高一数学 详细解释

若不等式x+2√xy≤a(x+y)对一切正数x、y恒成立则正数a的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.√2+1/2 D.2√2+1

为什么我做的是 C 啊？答案是B
对不起，题目错了应该是
若不等式x+2√2xy≤a(x+y)对一切正数x、y恒成立，则正数a的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.√2+1/2 D.2√2+1

Answer 1

题目有问题：
∵ x＞0，y＞0，∴ a≥2√(xy)/(x+y)＞0
原式可化为 (a-1)x-2√(xy)+ay≥0 ，两边同除以y，
得：(a-1)(x/y)-2√(x/y)+a≥0
令√(x/y)=t，不等式转换为：(a-1)t²-2t+a≥0恒成立
需a-1>0，开口向上，且判别式△=2²-4a(a-1)≤0
即a(a-1)≥1，解得a≥(1+√5)/2

如题中2√(xy)改为2√(2xy)，则2≤a(a-1)，解得a≥2

按你的解法x=y时，[x+2√(xy)]/2√(xy)=(x+2x)/2x=3/2，而非√2+1/2

追问

对不起，题目错了应该是
若不等式x+2√2xy≤a(x+y)对一切正数x、y恒成立，则正数a的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.√2+1/2 D.2√2+1

追答

解法同上
“如题中2√(xy)改为2√(2xy)，则2≤a(a-1)，解得a≥2”
选 B

Answer 2

你没有说清楚啊，对于一切正数a吧？这个东西根据不等式求极限无非就那几个公式。（估计也只有你们高中生还记得）

追问

对一切正数x、y

追答

你取的x=y只是考虑到了分母的值最小，却没有考虑到分子的值。这就是你错的地方

Answer 3

B
x+2√xy+y/x+y≤a,
即(√x+√y)²/X+y≤a,所以（2根号下√x*√y）²/2√x*√y即a》=2
（我这个错的，上边那个方法是正确的。）

追问

我怎样做哪里错了啊

追答

求最小值不能把分母取最小，你减小了分母。

追问

对不起，题目错了应该是
若不等式x+2√2xy≤a(x+y)对一切正数x、y恒成立，则正数a的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.√2+1/2 D.2√2+1

Answer 4

x,y均为正数，x>0,y>0,(x+2√xy)/(x+y)≤a,左边上下同时除以y，得(x/y+√x/y)/(x/y+1)≤a,再用换元法将x/y换成t,(t+√t)/(t+1)≤a,t>0,再根据函数求最大值的方法就可以了