Question

什么是凸二次规划

Answer 1

二次规划（Quadratic programming），在运筹学当中，是一种特殊类型的最佳化问题。

[编辑] 简介二次规划问题可以以下形式来描述：

f(x) = (1 / 2)xTQx + cTx
受到一个或更多如下型式的限制条件：

Ex = d
vT 是 v 的转置。

如果Q是半正定矩阵，那么f(x)是一个凸函数。如果有至少一个向量x满足约束而且f(x)在可行域有下界，二次规划问题就有一个全局最小值x。 如果Q是正定矩阵，那么全局最小值就是唯一的。如果Q=0，二次规划问题就变成线性规划问题。

根据优化理论，一个点x 成为全局最小值的必要条件是满足 Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件。当f(x)是凸函数时，KKT条件也是充分条件。

当二次规划问题只有等式约束时，二次规划可以用线性方程求解。否则的话，常用的二次规划解法有：内点法(interior point)、active set和共轭梯度法等。凸集二次规划问题是凸优化问题的一个特例。

[编辑] 对偶每个二次规划问题的对偶问题也是二次规划问题。我们以正定矩阵Q为例：

L(x,λ) = (1 / 2)xTQx + λT(Ax − b) + cTx
对偶问题g(λ)，可定义为

我们可用 : 得到L的极小

x * = − Q − 1(ATλ + c),
对偶函数：

g(λ) = − (1 / 2)λTAQ − 1ATλ − cTQ − 1ATλ − bTλ
对偶问题为：

maximize : − (1 / 2)λTAQ − 1ATλ − (ctQ − 1AT + bT)λ

subject to :

计算复杂性当Q正定时，用椭圆法可在多项式时间内解二次规划问题。当Q负定时，二次规划问题是NP困难的(NP-Hard)。即使Q 存在一个负特征值时，二次规划问题就是NP困难的。

Answer 2

二次规划是指 目前函数是二次函数 约束条件是线性函数
min 1/2*x'Gx+x'c
s.t. ai'x=bi, i 属于 E
ai'x>=bi, i 属于 I
凸二次规划是指目标函数是凸函数 也就是矩阵G是半正定的 G>=0

Answer 3

http://baike.baidu.com/view/953399.htm