Question

什么是双曲线

Answer 1

双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
定义
　　定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离[1]）的点的轨迹称为双曲线。 　　定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线。 　　定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。 　　定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程h(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。 　　1. a,b,c不都是0。 　　2. b^2 - 4ac > 0。 　　在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。 　　上述的四个定义是等价的。
编辑本段重要概念和性质
　　以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。 　　双曲线有两个分支。 　　在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。） 　　双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。 　　双曲线有两条渐近线。
编辑本段·双曲线的简单几何性质
　　1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。 　　2、对称性：关于坐标轴和原点对称。 　　3、顶点：A(-a,0)， A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且∣AA'│=2a. 　　B(0,-b)， B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b. 　　4、渐近线： 　　　焦点在x轴：y=±(b/a)x. 　　焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角 　　令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e） 　　令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 　　令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 　　这两个x是双曲线定点的横坐标。 　　求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标） 　　x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 　　（注意化简一下） 　　直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 　　是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。 　　将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’ 　　则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】 　　则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】 　　带入上式： 　　ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 　　即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 　　现在可以用θ取代式中的θ’了 　　得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 　　现证明双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1 上的点在渐近线中 　　　设M(x,y)是双曲线在第一象限的点，则 　　y=（b/a）√（x^2-a^2) (x>a) 　　因为x^2-a^2<x^2,所以y=(b/a)√(x^2-a^2)<b/a√x^2=bx/a 　　即y<bx/a 　　所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方 　　根据对称性第二、三、四象限亦如此 　　5、离心率： 　　第一定义： e=c/a 且e∈（1，+∞). 　　第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e. 　　d点（│PF│）/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e 　　6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 　　左焦半径：r=│ex+a│　 　　右焦半径：r=│ex-a│ 　　7、等轴双曲线 　　一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2 　　这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴） 　　8、共轭双曲线 　　双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。 　　几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S'：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 　　特点：（1）共渐近线 　　（2）焦距相等 　　（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 　　9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c 　　焦点在y轴上：y=±a^2/c 　　10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦） 　　d=2b^2/a　 　　11、过焦点的弦长公式： 　　d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 　　12、弦长公式： 　　d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下： 　　由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 　　得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 　　分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 　　稍加整理即得： 　　|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)
编辑本段·双曲线的标准公式与反比例函数
　　X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 　　而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 　　但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 　　因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴 　　所以应该旋转45度 　　设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针） 　　(a为双曲线渐进线的倾斜角) 　　则有 　　X = xcosa + ysina 　　Y = - xsina + ycosa 　　取 a = π/4 　　则 　　X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 　　= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 　　= 4 (√2/2 x) (√2/2 y) 　　= 2xy. 　　而xy=c 　　所以 　　X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) 　　Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 　　由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
编辑本段·双曲线焦点三角形面积公式
　　若∠F1PF2=θ, 　　则S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2) 　　·例：已知F1、F2为双曲线C：x^2;-y^;=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 　　少？ 　　解：由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2)=1×cot30°， 　　设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3， h=√6/2

Answer 2

在平面坐标系中，符合等式y=k/x（k为常数）的点所形成的轨迹，是双曲线。

Answer 3