Question

如图12,分别延长正方形ABCD的边CB和BA,至点E和F，使BE=AF,，连接AE，并延长交DF于点H

（1）求证△ADH~△EDA
（2）设正方形边长为a，BE=b，求AH/AE
（3）求证：CE^2=AE(AH+HE)

Answer 1

第一小题应该是证明：△ADH~△FDA成立
（1）证明：在Rt△ABE与Rt△DAF中，有：
AB=DA,∠ABE=∠DAF=90°,BE=AF
所以：Rt△ABE≌ Rt△DAF
则：∠BAE=∠ADF
又∠BAE+∠BAD+∠DAH=180°,∠BAD=90°
所以：∠ADF+∠DAH=90°
即：∠AHD=90°=∠FAD
又∠ADH=∠FDA
所以证得△ADH~△FDA （AA）

(2) 由（1）知△ADH~△FDA，则：
AH/FA=AD/FD (*)
由Rt△ABE≌ Rt△DAF得：AE=FD,且BE=FA
所以(*)可化为：
AH/BE=AD/AE
即AH=AD*BE/AE
因为BE=b,AD=a,AE=√(AB²+BE²)=√(a²+b²)
则：AH=ab/√(a²+b²)
所以：AH/AE=[ab/√(a²+b²)]/√(a²+b²)=ab/(a²+b²)

(3)因为AE(AH+HE)
＝AE(AH+AE+AH)
=AE²+2AE*AH
且由（2）得AE=√(a²+b²)，AH=ab/√(a²+b²)
所以：AE(AH+HE)＝[√(a²+b²)]²+2*[√(a²+b²)]*[ab/√(a²+b²)]
=a²+b²+2ab
=(a+b)²
又CE=CB+BE=a+b
所以：CE²=AE(AH+HE)

Answer 2

如图，

⑴⊿ABE绕O顺时针旋转90°，到达⊿DAF.∴AE⊥DF.⊿ADH∽⊿FDA﹙题目打错成⊿EDA﹚

⑵ AH＝ab/√﹙a²+b²﹚ AE＝√﹙a²+b²﹚ ∴AH/AE＝ab/﹙a²+b²﹚

⑶ 延长EH到G:GH＝AH.  ∠DAP＝∠DGP＝∠DCP [楼主补充理由！]

DPAC共圆，∠PCA＝∠PDA＝∠BAE ∴∠GCE＝∠CAE ⊿GCE∽⊿CAE 

∴GE/CE＝CE/AE  即 CE²＝AE×GE＝AE(AH+HE).

Answer 3

0.0 -.-