Question

若m、n是整数，且n²+3m²n²=30m²+517，则3m²n²的值为（ ）

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Answer 1

n²+3m²n²=30m²+517
n²（1+3m²）=30m²+517
n²＝（30m²+517）/（1+3m²）
＝（30m²+10＋507）/（1+3m²）
＝10＋［507/（1+3m²）］
＝10＋［3×13×13/（1+3m²）］由于该式必须为整数
故3×13×13/（1+3m²）必须是整数，即1+3m²必须是3×13×13的约数
3×13×13/（1+3m²）的值只能是1，3，13，39，169，507中的一个
经检验，只有当3×13×13/（1+3m²）＝39时
10＋［3×13×13/（1+3m²）］＝49才是一个完全平方数
此时m²＝4，而n²＝49
故3m²n²＝12×49＝588

Answer 2

n²+3m²n²=30m²+517
n^2+3m^2n^2-30m^2=517
n^2+3m^2(n^2-10)=517
n^2-10+3m^2(n^2-10)=517-10
(3m^2+1)(n^2-10)=507=3*13*13
n^2-10=39,3m^2+1=13
n^2=49,m^2=4
3m²n²=3*4*49=588

Answer 3

n^2+3m^2n^2=30m^2+517，
n^2(1+3m^2)=30m^2+517
等式右边为奇数，要等式成立，则等式左边n^2，3m^2+1应均为奇数，n^2为奇数，m^2为偶数。
n^2=(30m^2+517)/(3m^2+1)=(30m^2+10+507)/(3m^2+1)=10+507/(3m^2+1)
507≥3m^2+1
m^2≤12
又m为偶数，只有m^2=4时，n^2=49，均为整数。
3m^2n^2=3×4×49=588

Answer 4

m=2
n=7
3m²n²的值为（588 ）