Question

已知函数 f(x)=x^3+3ax^2+(3-6a)x+12a-4

(1)证明 曲线y=f(x)在 x=0处得切线过点（2,2）
（2）若f(x)在X=X1处取得最小值，x1属于（1,3）求a的取值范围

Answer 1

f'(x)＝3x^2+6ax+3-6a
切线斜率是k＝f'(0)=3-6a
方程是y-(12a-4)=(3-6a)x
方程中令x＝2，得y＝2
故此切线恒过点（2，2）
（2）令f'(x)＝3x^2+6ax+3-6a＝0
x＝x1处有极小值，故有f'(x1)=0且在x=x1左右的导数是左负右正
∵x1∈（1，3）
故有f'(1)<0
f'(3)>0代入解之即得a的范围

Answer 2

第二题他回答的是错的
1、f'(x)=3x^2+6ax+(3-6a)
则f'(0)=3-6a f(0)=12a-4
过x=0的切线为 y-(12a-4)=(3-6a)x
整理的y-3x+4=6(2-x)a
(2,2)代入恒成立 所以切线过（2,2）
2、f'(x)=3x^2+6ax+(3-6a)=3(x^2+2ax+1-2a) 对称轴为x=-a f‘(1)=6
讨论：
（1）判别式=4a^2+8a-4<=0 f'(x)>=0 f(x)递增没有最小值
（2）判别式=4a^2+8a-4>0 a>√2-1 或者a<-√2-1
f'(x)=0两根 x1 < x2
x<x1 f'(x)>0 x1<x<x2 f'(x)<0 x>x2 f'(x)>0 极小值点是x2 所以1<x2<3
1、a>√2-1 则对称轴x=-a<1-√2 则画出草图可以发现f’(x)在1<x<3内递增 f'(x)>f'(1)=6，则（1,3）内f(x)递增，不可能取到极小值
2、a<-√2-1，则对称轴x=-a>1+√2 画出草图可以发现
-a<3 f'(3)>0 得到a>-5/2
综上所述有-5/2<a<-√2-1