Question

已知函数f（x）=x/（x+1），若数列｛An｝（n属於正整数）满足A1=1，A（n+1）=f（An）

(1)设bn=1/An，求证数列｛bn｝是等差数列，（2）求数列｛An｝的通向公式An（3）设数列｛Cn｝满足：Cn=2^n/An，求数列｛Cn｝的前n项的和Sn=f（n）

Answer 1

出这题目得人出了第一问，就已经把题目难度降低了80%，
1.bn = 1/An b(n+1)= 1/A(n+1) = 1/(An/(An +1))= (An+1)/An =1+(1/An)
bn是以1为等差的数列。
2.bn是以1为等差的数列，求出bn通项公式，则An出来了。
3.因为么有计算bn的通项公式，所以令bn = a*n+1（1为公差）
Cn=2^n/An = 2^n*bn = （a*n+1）2^n = a*n*2^n +2^n
前n项和：后面2^n 的不说了，等比数列。
不知道学等比数列求和公式的错位相消法，你有没有没到，a*n*2^n 前n项和就这么算。

Answer 2

(1) ∵Bn=1/An∴B(n+1)=1+Bn又∵A（n+1)=f(An)=An/(An+1)∴1/A(n+1)=(An+1)/An=1+1/An即：B(n+1)=1+Bn∴B(n+1)-Bn=1 ∴{Bn}是等差数列
（2）∵A1=1∴B1=1∴由(1) 得：Bn=1+(n-1)*1=n∴1/Bn=1/n∴An=1/n（3）由（2）得:Cn=2^n/An=n*2^n∴Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+...+n*2^n ①①*2:2Sn=1*2^2+2*2^3+3*2^4...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1) ②∴②-①：Sn=n*2^(n+1)-(2^1+2^2+2^3+3^4+...+2^n)=n*2^(n+1)-2(2^n-1)/(2-1)=n*2^(n+1)-2^(n+1)+2=(n-1)*2^(n+1)+2

Answer 3

已经有人回答了。