Question

求向量组的秩及其一个极大线性无关组α1=﹙0，1，1）α2=（1，0，1）α3=（2，1，0）α4=（1，1，1）

Answer 1

解: (α1',α2',α3',α4') =
0 1 2 1
1 0 1 1
1 1 0 1

r3-r1-r2
0 1 2 1
1 0 1 1
0 0 -3 -1

r1<->r2
1 0 1 1
0 1 2 1
0 0 -3 -1

所以向量组的秩为3, α1,α2,α3是一个极大无关组.
[注:
1.不管向量组给的是行向量还是列向量, 构造矩阵时都转化成列向量
然后进行初等行变换.
2.这类题目化成梯形就可以了.
非零行数就是向量组的秩.
非零行的首非零元所在列对应的向量,就是一个极大无关组.]

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Answer 2

首先由于是在R3空间中的向量，故秩小于3
将α1α2α3依次排列为矩阵
得到
0 1 1
1 0 1
2 1 0
得行列式值为-1
故有此三个向量线性无关
根据向量组线性无关的定义
得到该向量组的秩为3

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追问

还有α4呢，况且不是用这种方法，能不能用行最简来算，怎么样把它化成行最简

追答

确实，使用行最简的方法要更加严密；行最简解法：
将α1α2α3α4竖直排列得到一个4x3的矩阵，并作行变换
0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
1 0 1 2 1 0 0 -1 -2 0 1 0 0 1 0 0 1 0
2 1 0 1 1 1 0 1 0 0 -1 -2 0 0 -2 0 0 1
1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
有上列行变换结果得知α1α2α3α4有3阶的阶梯型，可知其秩为3

这个答案如何

Answer 3

α4=（1，1，1）