Question

k为何值时，方程(k^2-1)x^2-6(3k-1)x+72=0有两个不等的正整数根

Answer 1

要方程有两不相等的实数根，判别式>0
[-6(3k-1)]²-4×(k²-1)×72>0
整理，得
k²-6k+9>0
(k-3)²>0
k≠3
设方程两根分别为x1，x2，由韦达定理，得
x1+x2=6(3k-1)/(k²-1)>0
解得k>1或-1<k<1/3
x1x2=72/(k²-1)>0
k>1或k<-1
综上，得k>1
又72/(k²-1)为正整数，k²-1只能为2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72
其中，只有k²-1为3，8，24时3k-1为整数。只有k²-1为8时，(3k-1)/(k²-1)=1，为整数。此时k=3，不满足题意。
综上，得k无解。

Answer 2

要方程有两不相等的实数根，判别式>0
[-6(3k-1)]²-4×(k²-1)×72>0
整理，得
k²-6k+9>0
(k-3)²>0
k≠3
设方程两根分别为x1，x2，由韦达定理，得
0
解得k>1或-1<k<1/3
x1x2=)>0
k>1或k<-1
综上，得k>1
因为方程两个正整数解，则x1+x2=6(3k-1)/(k²-1)和72/(k²-1）都为正整数。
72/(k²-1)为正整数，k²-1只能为2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72
其中，只有k²-1为3，8，24时k为正整数。
当k²-1=3时，因为k>1,因此k=2，此时满足x1+x2=6*(3*2-1)/(2^2-1)=10为正整数。
当k²-1=8,24时，x1+x2不为正整数。
由上得，k=2时，方程(k^2-1)x^2-6(3k-1)x+72=0有两个不等的正整数根。