Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x,(a属于R).

已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x,(a属于R).(1）若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,e]上的最小值为3，求a.(2)若存在x属于[1正无穷)，使得f(x)>x^2+g(x)能成立，求a的范围。

Answer 1

h'=1/x+a/x^2=(x+a)/x^2=0, -->x=-a
x>-a为增, x<-a为减
若：1=<-a<=e, 最小值为h(-a)=ln(-a)+1=3, a=-e^2, 不符
若：-a<1,最小值为h(1)=-a=3, a=-3, 不符
若：-a>e, 最小值为h(e)=1-a/e=3, a=-2e，符合
因此有a=-2e

追问

第二题呢？

追答

2. y=f(x)-x^2-g(x)=lnx-x^2-a/x>0有x>=1的解
y'=1/x-2x+a/x^2=(x-2x^3+a)/x^2
y(1)=-1-a
y(+∞)=-∞0, 即-1-a>0, 即a=-1,则我们求其极大值需大于0.
p(x)=x-2x^3+a=a-x(2x^2-1)
x>=1, x(2x^2-1)>=1, p(x)=0, 即a>=1， p(x1)=0因为递增性，显然只有一个实根x1>=1, x1(2x1^2-1)=a
y(x1)=lnx1-x1^2-a/x1=x1-x1^2-(2x1^2-1)=lnx1-3x1^2+1>0
y'(x1)=1/x1-6x1=(1-6x1^2)/x10不存在x1>=1的解。
因此综合得：a<-1

Answer 2

求导